Cómo demostrar que $a_{1}=a_{3}=a_{5}=\cdots=a_{199}=0$

Question

Dejemos que $$(1-x+x^2-x^3+\cdots-x^{99}+x^{100})(1+x+x^2+\cdots+x^{100})=a_{0}+a_{1}x+\cdots+a_{200}x^{200}$$ demostrar que

$$a_{1}=a_{3}=a_{5}=\cdots=a_{199}=0$$

Tengo un método para resolver este problema: Que $$g(x)=(1-x+x^2-x^3+\cdots-x^{99}+x^{100})(1+x+x^2+\cdots+x^{100})$$ Nota $$g(x)=g(-x)$$ así que $$a_{1}=a_{3}=\cdots=a_{199}=0$$

¿existen otros métodos?

Answer 1

HInt 1: $$g(x)=(1+x^2+\cdots+x^{100})^2-x^2(1+x^2+x^4+\cdots+x^{98})^2$$

Pista 2: ya que $$g(x)=\dfrac{1+x^{101}}{1+x}\cdot\dfrac{1-x^{101}}{1-x}=\dfrac{1-x^{202}}{1-x^2}=1+x^2+\cdots+x^{198}+x^{200}$$

Answer 2

SUGERENCIA multiplica algunos términos de la primera expresión por $x^2$ y $x^3$ y observa lo que se anula entonces puedes probarlo para todos los pares pares-impar pero ten en cuenta incluso con este 1 y $a_{200}$ Sólo queda hasta la última expresión . así que lo has demostrado.Espero que sepas que los términos Impares de cualquier polinomio de grado par son $0$ .

Answer 3

Dejemos que $A (x) = (1-x+x^2-x^3+\cdots-x^{99}+x^{100})$ y $B (x) = 1+x+x^2+\cdots+x^{100}$ . Entonces tenemos $g(x) = A (x) B (x)$ . Tenemos $(x + 1) A (x) = x^{101} + 1$ y $(x - 1) B (x) = x ^ {101} - 1$ . Entonces $$g (x) = \frac {x^ {202} - 1} {x^2 - 1} = x^{200} + x^{198} + \cdots + 1,$$ como se desee.