Definición: Una partición del intervalo $[a, b]$ es un finito conjunto de puntos en $[a, b]$ uno de los cuales es $a$ y uno de los cuales es $b$ . Los puntos de una partición pueden numerarse $t_0, ...., t_n$ tal que $a = t_0 <t_1 < ... < t_{n-1} < t_n =b$ .
He citado la definición anterior de partición por una razón, como verás enseguida. A partir de la definición de partición, con $P = \{t_0, t_1, ... , t_n{-1}, t_n \}$ podemos definir las Sumas de Riemann inferior y superior así:
$$L(f, P) := \sum_{i=1}^{n}m_i(t_i - t_{i-1})$$ $$U(f, P) := \sum_{i=1}^{n}M_i(t_i - t_{i-1})$$ donde $$m_i = \inf\{f(x): t_{i-1} \leq x \leq t_i\}$$ $$M_i = \sup\{f(x): t_{i-1} \leq x \leq t_i\}$$
Así que esencialmente lo que la partición está haciendo, es seleccionar puntos de muestreo para dividir el campo real en el intervalo $[a, b]$ en $n$ subintervalos, $[t_0, t_1],\ [t_1, t_2],\ ...\ , \ [t_{n-2}, t_{n-1}], \ [t_{n-1}, t_{n}]$ ¿correcto?
Entonces es matemáticamente correcto reescribir $m_i$ et $M_i$ como las siguientes:
$$m_i = \inf\{f(x): x \in [t_{i-1}, t_i]\}$$ $$M_i = \sup\{f(x): x \in [t_{i-1}, t_i]\}$$
donde $[t_{i-1}, t_i] \subset \mathbb{R}$ . (y donde $[t_{i-1}, t_i]$ es un intervalo continuo)?
Y si $f$ se supone continua, entonces $m_i = \min\{f(x) : x \in [t_{i-1}, t_{i}]\}$ y $M_i = \max\{f(x) : x \in [t_{i-1}, t_{i}]\}$ (en palabras: $m_i$ será el valor mínimo $f$ asume sobre el $n$ subintervalos y $M_i$ será el valor máximo $f$ asume sobre el $n$ subintervalos)?
Si lo que he dicho arriba es correcto, sólo por curiosidad ¿por qué el $a \leq x \leq b$ preferible a la notación de intervalo $x \in [a, b]$ ?
Realmente pido disculpas si lo que estoy escribiendo es descaradamente obvio, hice una pregunta antes, y creo que sólo ahora me di cuenta de que lo que la partición estaba haciendo, era sólo seleccionar puntos de muestreo para dividir el campo real en subintervalos.
