Gama de $(x+\sqrt{x})(10-x+\sqrt{10-x})$

Question

Estaba evaluando el rango de esta función en números reales:

$f(x)=(x+\sqrt x)(10-x+\sqrt {10-x})$

Se puede observar que el máximo se produce en $x=5$ ¡pero no pude encontrar una forma clara de probarlo! ¡Inténtalo!

Answer 1

Se puede ver fácilmente que hay un extremo local en $x=5$ porque la función es simétrica alrededor del punto $x=5$ : $$ f(10-x) = f(x) $$ Ello se debe a que la función se escribe explícitamente como un producto de los dos factores "espejo" $$ f(x) = g(x) g(10-x)$$ donde $$ g(x) = x+ \sqrt{x} $$ Porque la función no tiene ninguna singularidad extremadamente patológica en $x=5$ debe haber un extremo local allí.

Answer 2

Véase que el dominio de $f(x)$ es $\{x|x \in \mathbb{R^+} \land 0 \le x \le 10\}$
y que $$f'(x)=(1+\frac{1}{2\sqrt{x}})(10-x+\sqrt{10-x})-(x+\sqrt{x})(1+\frac{1}{2\sqrt{10-x}})$$ $$=10-x+\sqrt{10-x}+\frac{1}{2\sqrt{x}}(10-x+\sqrt{10-x})-x-\sqrt{x}-\frac{x+\sqrt{x}}{2\sqrt{10-x}}$$

Si se resuelve para $f'(x)=0$ obtendrá $x=5$ y $f''(5)<0$ . Así podrá demostrar que $$f'(x)=\begin{cases} +ve & 0\le x<5 \\ -ve & 5<x\le 10\end{cases}$$

Y $f(0)=f(10)=0$

Así que el alcance es $\{x|x \in \mathbb{R^+} \land 0 \le x \le 5\}$