Si $D_1 f$ existe y está acotada, y $y \mapsto f(x,y)$ es continua, entonces $f$ es continua

Question

Supongamos que $U$ es un subconjunto abierto de $\mathbb{R}^2$ y $f:U \to \mathbb{R}$ es tal que el mapa $y \mapsto f(x,y)$ es continua. Además, supongamos que la derivada parcial en la primera coordenada, $D_1 f$ existe y está acotada. Intento demostrar que $f$ debe ser continua.

---

Lo que tengo hasta ahora:

La condición de que $D_1f$ existe y está acotado equivale a decir que para todo $(a_1,a_2) \in U$ , $$\lim_{t \to 0} \frac{1}{t} (f(a_1+t,a_2)-f(a_1,a_2))$$ existe y está acotada.

La condición de que $y \to f(x,y)$ es continua es equivalente a $$\lim_{(x,y) \to (x_0,y_0)} f(x,y) = f(x_0,y_0)$$ pero no veo una forma sensata de vincularlos directamente. (Sé que el $D_1f$ condición debe ser importante porque no es necesariamente cierto que $x \mapsto f(x,y)$ y $y \mapsto f(x,y)$ al ser ambas continuas por componentes, implica $f$ continua). ¿Cómo se muestra el resultado?

Answer 1

Primero leí mal y pensé que el resultado era falso. Es falso cierto. He aquí una insinuar.

Escriba a $$ f(x+h,y+k) - f(x,y) = f(x+h,y+k)-f(x,y+k)+f(x,y+k)-f(x,y). $$ Por el teorema del valor medio, $|f(x+h, y+k) - f(x,y+k)| \leq c|h|$ donde $c$ límites $D_1f.$ y por continuidad $f(x,y+k)-f(x,y) \to 0$ como $k \to 0.$ El resultado se obtendrá fácilmente.