Sustitución de la variable dependiente de una ecuación diferencial.

Question

Intento responder a una pregunta de un libro de texto. La pregunta es la siguiente:

"Utilizar la sustitución $y = x^2$ para convertir la ecuación diferencial $x\frac{d^2x}{(dt)^2} + (\frac{dx}{dt})^2 + x\frac{dx}{dt} = 0$ en una ecuación diferencial de segundo orden con coeficientes constantes en la que intervienen y y t".

La respuesta según el libro de texto es $\frac{d^2y}{(dt)^2} + \frac{dy}{dt} = 0$

No sé qué hacer con el $(\frac{dx}{dt})^2$ de la ecuación original. ¿Es equivalente a $\frac{d}{dt}(x^2)$ ? Si este es el caso, mi trabajo llega hasta lo siguiente antes de quedarse atascado:

$x\frac{d^2x}{(dt)^2} + (\frac{dx}{dt})^2 + x\frac{dx}{dt} = 0$

$\Rightarrow x\frac{d^2x}{(dt)^2} + \frac{d}{dt}(x^2) + x\frac{dx}{dt} = 0$

$\frac{dy}{dt} =\frac{dy}{dx}\frac{dx}{dt}=2x\frac{dx}{dt} \Rightarrow \frac{d^2x}{(dt)^2}=\frac{d}{dx}(\frac{1}{2x}\frac{dy}{dt})$

$\Rightarrow x\frac{d}{dx}(\frac{1}{2x}\frac{dy}{dt}) + 2x + x\frac{1}{2x}\frac{dy}{dt} = 0$

$\Rightarrow \frac{1}{2x}\frac{dy}{dt} + \frac{1}{2}\frac{d^2y}{(dt)^2} + 2x + \frac{1}{2}\frac{dy}{dt} = 0$

Por favor, ¿puede alguien indicarme dónde me he equivocado?

Answer 1

En general, es incorrecto que $\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 = \frac{d}{dt}\left(x^2\right)$ desde $\frac{d}{dt}\left(x^2\right) = 2x\left(\frac{dx}{dt}\right)$ por lo que sólo son iguales en el caso especial de que $2x = \frac{dx}{dt}$ . En su lugar, multiplica la ecuación original a ambos lados por $2$ para obtener

$$2x\frac{d^2x}{(dt)^2} + 2\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + 2x\frac{dx}{dt} = 0 \tag{1}\label{eq1A}$$

A continuación, diferenciar $y = x^2$ da

$$\frac{dy}{dt} = 2x\left(\frac{dx}{dt}\right) \tag{2}\label{eq2A}$$

y diferenciando de nuevo, utilizando esta vez la regla del producto, se obtiene

$$\frac{d^2y}{(dt)^2} = 2\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + 2x\left(\frac{d^2x}{dt^2}\right) \tag{3}\label{eq3A}$$

Como puede ver, con el lado izquierdo de \eqref {eq1A}, tenemos \eqref {eq3A} que coincide con la primera $2$ términos y \eqref {eq2A} que coincide con el tercer término final. Por lo tanto, \eqref {eq1A} puede reescribirse como

$$\frac{d^2y}{(dt)^2} + \frac{dy}{dt} = 0 \tag{4}\label{eq4A}$$

Answer 2

Como se ha señalado $$\left(\frac{dx}{dt}\right)^2=\frac{dx}{dt}\cdot \frac{dx}{dt}\neq \frac{d(x^2)}{dt}$$

Por la sustitución sugerida tenemos

$$y=x^2 \implies \frac{dy}{dt}=2x \frac{dx}{dt} \implies \frac{d^2y}{dt^2}=2 \left(\frac{dx}{dt}\right)^2+2x \frac{d^2x}{dt^2}$$

es decir

• $\frac{dx}{dt}=\frac1{2x}\frac{dy}{dt} $
• $\frac{d^2x}{dt^2}=\frac1{2x}\frac{d^2y}{dt^2}-\frac1{4x^3}\left(\frac{dy}{dt}\right)^2 $

entonces

$$x\frac{d^2x}{dt^2} + \left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + x\frac{dx}{dt}=0$$

$$\frac1{2}\frac{d^2y}{dt^2}\color{red}{-\frac1{4x^2}\left(\frac{dy}{dt}\right)^2 +\frac1{4x^2}\left(\frac{dy}{dt}\right)^2}+ \frac1{2}\frac{dy}{dt}=0$$

$$\frac1{2}\frac{d^2y}{dt^2}+ \frac1{2}\frac{dy}{dt}=0$$

Answer 3

$$x\frac{d^2x}{dt^2} + \left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + x\frac{dx}{dt} = 0$$ Con otra anotación: $$\color {blue}{xx''+ (x')^2} + xx' = 0$$ $$\color {blue}{(xx')'}+xx'=0$$ Multiplicar por $2$ : $$(2xx')'+2xx'=0$$ Desde $(x^2)'=2xx'$ : $$(x^2)''+(x^2)'=0$$ Y como $y=x^2$ esto es simplemente: $$y''+y'=0$$