Seleccionar al menos una bola de cada color

Question

Una urna contiene cinco bolas rojas, seis blancas y siete azules. Se seleccionan cinco bolas sin reemplazamiento. Halla la probabilidad de que se seleccione al menos una bola de cada color.

Respuesta (intento):

Conseguir bolas rojas = $5 \choose 1$

Conseguir bolas blancas = $6 \choose 1$

Conseguir bolas azules = $7 \choose 1$

Las dos bolas restantes = $15 \choose 2$

Total selecciones = $18 \choose 5$

P = $\frac{{5 \choose 1} {6 \choose 1}{7 \choose 1}{15 \choose 2}}{18 \choose 5}$

La respuesta parece equivocada.

Answer 1

El número total de combinaciones es:

$$\dbinom{5+6+7}{5}=\dfrac{18!}{5!\cdot13!}=8568$$

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El número de combinaciones sin bolas rojas es:

$$\dbinom{6+7}{5}=\dfrac{13!}{5!\cdot8!}=1287$$

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El número de combinaciones sin bolas blancas es:

$$\dbinom{5+7}{5}=\dfrac{12!}{5!\cdot7!}=792$$

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El número de combinaciones sin bolas azules es:

$$\dbinom{5+6}{5}=\dfrac{11!}{5!\cdot6!}=462$$

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El número de combinaciones sin bolas rojas y sin bolas blancas es:

$$\dbinom{7}{5}=\dfrac{7!}{5!\cdot2!}=21$$

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El número de combinaciones sin bolas rojas y sin bolas azules es:

$$\dbinom{6}{5}=\dfrac{6!}{5!\cdot1!}=6$$

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El número de combinaciones sin bolas blancas y sin bolas azules es:

$$\dbinom{5}{5}=\dfrac{5!}{5!\cdot0!}=1$$

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Así que la probabilidad de una combinación sin al menos una bola de cada color es:

$$\dfrac{1287+792+462-21-6-1}{8568}=\dfrac{2513}{8568}$$

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Y la probabilidad de una combinación con al menos una bola de cada color es:

$$1-\dfrac{2513}{8568}=\dfrac{6055}{8568}\approx0.7067$$

Answer 2

Para la división de $5$ hay $2$ posibilidades:

$5=1+2+2$

$5=1+1+3$

Conduce a $$\binom{5}{1}\binom{6}{2}\binom{7}{2}+\binom{5}{2}\binom{6}{1}\binom{7}{2}+\binom{5}{2}\binom{6}{2}\binom{7}{1}+\binom{5}{1}\binom{6}{1}\binom{7}{3}+\binom{5}{1}\binom{6}{3}\binom{7}{1}+\binom{5}{3}\binom{6}{1}\binom{7}{1}$$ posibilidades con la condición de que de cada color se seleccione al menos una bola.

En total hay: $$\binom{18}{5}$$ posibilidades.

Estos datos le permiten encontrar la probabilidad.