Recordemos las definiciones de puntualmente , uniforme y uniforme en compacto convergencia.
Funciones dadas $f_n : \mathbb R \to \mathbb R$ y $f : \mathbb R \to \mathbb R$ decimos que :
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$f_n \to f$ puntualmente si para cada $x \in \mathbb R$ tenemos $f_n(x) \to f(x)$ .
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$f_n \to f$ uniformemente, si para todo $\epsilon > 0$ existe $N \in \mathbb N$ tal que si $n > N$ entonces para todos $x$ tenemos $|f_n(x) - f(x)| < \epsilon$ .
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$f_n \to f$ uniformemente en conjuntos compactos, si para cada conjunto compacto $K \subset R$ las funciones restringidas $f_n|_K$ y $f|_K$ satisfacer $f_n|_K \to f|_K$ uniformemente en $K$ .
Teniendo esto en cuenta, para $f_n = \frac xn$ necesitamos una función candidata para $f$ donde $f_n$ convergerían puntualmente. Pero, para cada $x$ la secuencia $\frac xn$ se reduce claramente a cero. Entonces, $f \equiv 0$ debería funcionar.
Para ver esto, fije $x \in \mathbb R$ . La cuestión es que para la convergencia puntual se supone que debemos demostrar para cada fijo $x$ que $f_n(x) \to f(x)$ mientras que en el caso uniforme debemos especificar $N$ antes de fijar $x$ . Ésa es la diferencia entre las dos formas de convergencia.
Pero si $x$ es fija, entonces la secuencia $\frac xn$ converge claramente a $0$ . Dado que esto es cierto para todos los $x$ vemos que $f_n$ converge puntualmente a $0$ .
Pero no uniformemente ¿Por qué? La intuición detrás de la convergencia uniforme, es que en cierto sentido, la tasa a la que $f_n(x) \to f(x)$ sucede, debe ser el mismo para cada $x$ (o al menos uniforme en cierto sentido). Aquí no es así, y argumentamos por contradicción. Supongamos que $f_n \to f$ uniformemente. Entonces, $f_n \to f$ puntualmente(¿POR QUÉ?), así que $f \equiv 0$ debe suceder. Sabemos que para todos $\epsilon > 0$ existe $N$ tal que $n > N$ implica $|f_n(x)| < \epsilon$ para todos $x$ . Pero esto es falso $\epsilon = 1$ . Entonces, si $N$ sale de la definición de continuidad uniforme, toma $x = N+2$ para ver que $f_{N+1}(N+2) > 1 = \epsilon$ por lo que es no cierto que si $n > N$ entonces $|f_n(x)| < \epsilon$ para todos $x$ como demostramos tomando una $n$ y $x$ .
En resumen, la tasa de convergencia a cero de $f_n(x)$ no es uniforme: de hecho, se ralentiza a medida que $x$ se agranda.
¿Uniformidad en los compactos? Sea $K$ sea compacta. El candidato a la convergencia uniforme en $K$ debe ser de nuevo la función cero. Fijemos $\epsilon > 0$ . Se supone que debemos encontrar $N$ tal que si $n > N$ entonces $|f_n(x)| < \epsilon$ para todos $x \in K$ . Ampliando, esto es decir que $|x| < n\epsilon $ para todos $x \in K$ .
Pero un conjunto compacto está acotado. Así que $M$ sea tal que $|x| < M$ para todos $x \in K$ . Simplemente elige $N > \frac{M}{\epsilon}$ un número entero. Entonces, si $n > N$ tenemos $n\epsilon > M > |x|$ o que $|f_n(x)| < \epsilon$ . Por lo tanto, aquí se cumple la convergencia uniforme en los compactos.
Utiliza las ideas anteriores para resolver la segunda pregunta.
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En primer lugar, encontrar un candidato para la convergencia puntual. Si la convergencia es uniforme/uniforme en los compactos, entonces el candidato sigue siendo el mismo.
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Estudiar los valores de $f_n(x)$ para distintos valores de $x$ para comprobar intuitivamente si se aplica la convergencia uniforme. Estudiar $|f_n(x) - f(x)|$ para variar $n$ y $x$ : esto te da una buena pista.
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Para la compacidad, hay que ver si la acotación influye en la velocidad de convergencia. $|f_n(x) - f(x)|$ tiene un límite relacionado con un límite superior del conjunto compacto, entonces esto es útil.
