Pregunta sobre el ángulo del tetraedro

Question

Un tetraedro $ABCD$ tiene una arista $DB$ perpendicular a la base $ADC$ (véase el diagrama). Quiero demostrar que $\cos\theta=\cos\beta\cos\alpha$ . Puedo hacer esto dejando caer una perpendicular desde $D$ a $AC$ luego diciendo $\cos\theta=\frac{a}{b}=\frac{c}{b}\times\frac{a}{c}$ . Eso está bien. Pero, ¿significa eso que he mostrado $\cos\theta=\cos\beta\cos\alpha$ para todos valores del ángulo $ADC$ ? Disculpas si la respuesta es obvia; sólo tengo matemáticas de nivel escolar.

Answer 1

Sea $ADC$ estar en el $xy$ avión con $A$ en el origen y $AD$ a lo largo del $y$ entonces

$ \hat{AD} = (0, 1, 0) $

$ \hat{AC} = (\sin \alpha, \cos \alpha, 0 )$

$\hat{AB} = (0, \cos \beta, \sin \beta) $

Los anteriores son vectores unitarios.

El ángulo $\theta$ entre $\hat{AB}$ y $\hat{AC}$ satisface

$ \cos \theta = \dfrac{ \hat{AB} \cdot \hat{AC} }{\| \hat{AB} \| \| \hat{AC} \|} = \hat{AB} \cdot \hat{AC} = \cos \alpha \ \cos \beta $

Answer 2

"Gracias al teorema de Pitágoras":

$e^2+a^2=c^2$

$c^2+d^2=b^2$

$f^2=d^2+e^2$

........................+

$a^2+f^2=b^2$

Es decir $f$ es perpendicular a $AC$ y $e$ y $f$ tienen el mismo pie en $AC$ . Luego sigue tu afirmación.