¿Por qué aumenta la variación de la caminata aleatoria?

Question

La caminata aleatoria que se define como $Y_{t} = Y_{t-1} + e_t$ donde $e_t$ es el ruido blanco. Denota que la posición actual es la suma de la posición anterior + un término imprevisto.

Puedes probar que la función media $\mu_t = 0$ ya que $E(Y_{t}) = E(e_1+ e_2+ ... +e_t) = E(e_1) + E(e_2) +... +E(e_t) = 0 + 0 + ... + 0$

¿Pero por qué es que la variación aumenta linealmente con el tiempo?

Simulé unos cuantos paseos al azar, y la media nunca fue cero. ¿Pero lo sería si continuara hasta el infinito?

¿Tiene esto algo que ver con que no es "puro" azar, ya que la nueva posición está muy correlacionada con la anterior?

EDITAR:

Ahora tengo una comprensión mucho mejor al visualizar una gran muestra de paseos aleatorios, y aquí podemos observar fácilmente que la varianza global hace aumento con el tiempo,

y la media es como se espera alrededor de cero.

Tal vez esto era trivial después de todo, ya que en las primeras etapas de la serie de tiempo (comparar tiempo = 10, con 100) los caminantes al azar no han tenido tiempo aún para explorar tanto.

Answer 1

$\def\va{{\bf a}} \def\vb{{\bf b}}$ Esto es básicamente un desarrollo de los comentarios de @HansLundmark.

Sospecho que lo que está escrito en el texto (o, lo que se pretendía escribir) es $$\vb_1 = \frac{2\pi(\va_2\times\va_3)}{[\va_1,\va_2,\va_3]}.$$ Tenga en cuenta que $[\va_1,\va_2,\va_3]$ es una notación estándar para el producto triple escalar , $$\begin{eqnarray*} [\va_1,\va_2,\va_3] &=& \va_1\cdot(\va_2\times\va_3) \\ &=& \textrm{det}\langle\va_1,\va_2,\va_3\rangle \\ &=& |\langle\va_1,\va_2,\va_3\rangle|. \end{eqnarray*}$$ Denotamos por $\langle\va_1,\va_2,\va_3\rangle$ la matriz cuyas columnas son los vectores $\va_i$ . (Es habitual ver esta matriz escrita como $(\va_1,\va_2,\va_3)$ pero utilizamos paréntesis angulados para evitar confusiones con la notación del enunciado de la pregunta).

Es posible, aunque poco probable, que lo que se pretende es $$\vb_1 = 2\pi\langle\va_1,\va_2,\va_3\rangle^{-1} (\va_2\times\va_3).$$ Esto sería un abuso de la notación, pero es la forma más natural de que la multiplicación funcione si $(\va_1,\va_2,\va_3)$ es una matriz y los vectores son vectores columna.

Answer 2

Esta es una forma de imaginarlo. Para simplificar las cosas, vamos a reemplazar su ruido blanco $e_i$ con el lanzamiento de una moneda $e_i$

$$e_i = \left\{ \begin{array}{c} 1 \ \text{with} \ Pr = .5 \\ -1 \ \text{with} \ Pr = .5 \end{array} \right.$$

esto sólo simplifica la visualización, no hay nada realmente fundamental en el cambio, salvo aliviar la tensión de nuestra imaginación.

Ahora, suponga que ha reunido un ejército de lanzadores de monedas. Sus instrucciones son, cuando usted lo ordene, lanzar su moneda y llevar un recuento de los resultados obtenidos, junto con una suma de todos los resultados anteriores. Cada lanzador individual es una instancia del paseo aleatorio

$$W = e_1 + e_2 + \cdots$$

y la agregación de todo tu ejército debería darte una idea del comportamiento esperado.

flip 1 : Aproximadamente la mitad de tu ejército sale cara y la otra mitad sale cruz. La expectativa de la suma, tomada en todo tu ejército, es cero. El valor máximo de $W$ a través de todo su ejército es $1$ y el mínimo es $-1$ , por lo que el alcance total es $2$ .

flip 2 : Aproximadamente la mitad sale cara y la otra mitad sale cruz. La expectativa de este lanzamiento es de nuevo cero, por lo que la expectativa de $W$ sobre todas las vueltas no cambia. Una parte de tu ejército ha dado la vuelta $HH$ y algunos otros han volteado $TT$ por lo que el máximo de $W$ es $2$ y el mínimo es $-2$ la gama total es $4$ .

...

flip n : Alrededor de la mitad da la cara y la otra mitad da la cruz. La expectativa de este lanzamiento es de nuevo cero, por lo que la expectativa de $W$ sobre todas las vueltas no cambia, sigue siendo cero. Si su ejército es muy grande, algunos soldados muy afortunados voltearon $HH \cdots H$ y otros $TT \cdots T$ . Es decir, hay algunos con $n$ cabezas, y algunas con $n$ colas (aunque esto es cada vez más raro con el paso del tiempo). Así que, al menos en nuestra imaginación, el rango total es $2n$ .

Esto es lo que se desprende de este experimento mental:

• La expectativa del paseo es cero, ya que cada paso en el paseo está equilibrado.
• El alcance total del paseo crece linealmente con la longitud del mismo.

Para recuperar la intuición tuvimos que descartar la desviación estándar y utilizar en medida intuitiva, el rango.

Answer 3

¿Tiene esto algo que ver con que no es aleatorio "puro", ya que la nueva posición está muy correlacionada con la anterior?

Parece que por "puro" te refieres a independiente . En el paseo aleatorio sólo los pasos son aleatorios e independientes entre sí. Como ha señalado, las "posiciones" son aleatorias pero correlacionado es decir no es independiente .

La expectativa de la posición sigue siendo cero como usted escribió $E[Y_t]=0$ . La razón por la que se observan posiciones no nulas es porque las posiciones siguen siendo aleatorias, es decir $Y_t$ son todos números aleatorios no nulos. De hecho, mientras aumentas la muestra más grande $Y_t$ se observará de vez en cuando, precisamente porque, como ha señalado, la varianza aumenta con el tamaño de la muestra.

La varianza aumenta porque si se desenvuelve la posición de la siguiente manera: $Y_t=Y_0+\sum_{i=0}^t\varepsilon_t$ , puedes ver que la posición es una suma de pasos, obviamente. Las varianzas se suman con el aumento del tamaño de la muestra.

Por cierto, las medias de los errores también se suman, pero en un paseo aleatorio solemos suponer que las medias son cero, por lo que la suma de todos los ceros seguirá dando como resultado cero. Hay un paseo aleatorio con una deriva: $Y_t-Y_{t-1}=\mu+\varepsilon_t$ , donde $Y_t$ se alejará de cero a un ritmo $\mu t$ con el tiempo de muestreo.

Answer 4

Tomemos un ejemplo diferente para una explicación intuitiva: lanzar dardos a una diana. Tenemos un jugador, que intenta apuntar a la diana, que tomamos como una coordenada llamada 0. El jugador lanza unas cuantas veces, y efectivamente, la media de sus lanzamientos es 0, pero no es realmente bueno, por lo que la varianza es de 20 cm.

Pedimos al jugador que lance un solo dardo nuevo. ¿Espera que dé en la diana?

No. Aunque la media es exactamente la diana, cuando muestreamos un lanzamiento, es muy probable que no sea la diana.

Del mismo modo, con el paseo aleatorio, no esperamos una única muestra en el tiempo $t$ se acerque a 0. De hecho, eso es lo que indica la varianza: ¿a qué distancia esperamos que esté una muestra?

Sin embargo, si tomamos muchas muestras, veremos que sí se centra alrededor de 0. Al igual que nuestro jugador de dardos casi nunca dará en la diana (gran varianza), pero si lanza muchos dardos, los tendrá centrados alrededor de la diana (media).

Si extendemos este ejemplo al paseo aleatorio, podemos ver que la varianza aumenta con el tiempo, aunque la media se mantiene en 0. En el caso del paseo aleatorio, parece extraño que la media se mantenga en 0, aunque intuitivamente sabremos que casi nunca acaba en el origen exactamente. Sin embargo, lo mismo ocurre con nuestro dardo: podemos ver que cualquier dardo individual casi nunca llegará a la diana con una varianza creciente, y sin embargo los dardos formarán una bonita nube alrededor de la diana - la media se mantiene igual: 0.

Answer 5

Esta es otra forma de intuir que la varianza aumenta linealmente con el tiempo.

Los rendimientos aumentan linealmente con el tiempo. $.1\%$ rendimiento por mes se traducen en $1.2\%$ rendimiento por año - $X$ retorno por día generan $365X$ rendimiento al año (asumiendo la independencia).

Es lógico que la gama de rendimientos también aumente linealmente. Si la rentabilidad mensual es $.1\%$ de media $\pm .05\%$ entonces tiene sentido intuitivo que por año sea $1.2\%$ de media $\pm .6\%$ .

Bueno, si pensamos intuitivamente en la varianza como rango, entonces tiene sentido intuitivo que la varianza aumente de la misma manera que el retorno a través del tiempo, es decir, linealmente.