Estoy tomando una clase introductoria de Álgebra Abstracta, y está teniendo dificultades en la aplicación de la definición de un grupo cíclico en un grupo de permutaciones. Porque hasta ahora sólo he aprendido a encontrar subgrupos cíclicos para grupos de multiplicación y adición, para lo cual encuentro o bien los valores del generador a la enésima potencia o bien n multiplican al generador, tal que n pertenece a Z. Entonces, ¿cómo se aplica o adapta dicho concepto de "n copias del generador" (la frase de mi profesor) a un grupo de permutaciones?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
La composición es la operación de grupo. Así que $$\sigma=(12)(3)$$ en $S_3$ tiene orden 2, por ejemplo
En general, el orden de $\sigma$ es el mínimo $n$ tal que $$ \underbrace{\sigma(\sigma(\cdots \sigma(}_{n~times}\cdot)\cdots))=e $$ donde $e$ es la permutación de identidad. Para hacerlo más claro, escribe la permutación en notación de lista. Así, $$\sigma=(213),\sigma^2=(123)=e$$ y el subgrupo cíclico es $\{\sigma,e\}.$
¿Por qué no calculas el grupo cíclico generado por $(134)(25)$ en $S_5$ como ejercicio. Sugerencia : Tiene orden 10.
