Sonidos de ejercicio: ¿Es la extensión $\mathbb{Q}(\sqrt{5},\sqrt{7})$ ¿Simple? Tengo la solución (en la foto). ¿Es correcta? ¿Por qué demostramos de esta manera, por qué debemos demostrar que el cuadrado, la multiplicación pertenecen $K$ ? He visto la definición de la extensión simple, pero no entiendo por qué demostramos de esta manera, por qué no es simple. 
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
El funcionamiento es correcto, pero de hecho demuestra que la extensión es simple.
Es sencillo porque se genera adosando un único elemento. Esto se demuestra por la igualdad $$\def\Q{{\Bbb Q}} \Q(\sqrt5,\sqrt7)=\Q(\sqrt5+\sqrt7)\ .$$
La parte principal de la solución es demostrar esa igualdad. Tienes que demostrar que LHS es un subconjunto de RHS e inversamente.
Ahora, por definición $\Q(\sqrt5,\sqrt7)$ es un campo que contiene $\Q$ y $\sqrt5$ y $\sqrt7$ . Por lo tanto, contiene $\sqrt5+\sqrt7$ . Por definición, $\Q(\sqrt5+\sqrt7)$ es el el más pequeño campo que contiene $\Q$ y $\sqrt5+\sqrt7$ por lo que RHS es un subconjunto de LHS. Su solución no dio este trabajo, tal vez porque se considera que es demasiado fácil de molestar.
A la inversa, $\Q(\sqrt5+\sqrt7)$ contiene $\Q$ y $\sqrt5+\sqrt7$ . Por lo tanto, su solución contiene $\sqrt5$ y $\sqrt7$ . Dado que LHS es el campo más pequeño que contiene $\Q$ y $\sqrt5$ y $\sqrt7$ tenemos que LHS es un subconjunto de RHS.
No hay ninguna razón específica para demostrar que la plaza está en $K$ pero es una forma cómoda de hacerlo.
