Problema sobre las funciones.

Question

Si hay dos funciones $f(x)$ y $g(x)$ s $f''(x)= -f(x)$ y $g(x) = f'(x)$ y $$F(x) = (f(x/2))^2 + (g(x/2))^2$$ y dado que $F(5) = 5$ entonces $F(10) =$ ?

Answer 1

Tenemos $F(x)=[f(x/2)]^2+[g(x/2)]^2$ .

Entonces \begin{align} F'(x)&=2\cdot f(x/2)\cdot f'(x/2)\cdot\frac{1}{2}+2\cdot g(x/2)\cdot g'(x/2)\cdot\frac{1}{2}\\ &=f(x/2)\cdot f'(x/2)+g(x/2)\cdot g'(x/2)\ .\tag{1}\label{1} \end{align} Sabemos que $f''(x)=-f(x)$ Así que $f(x)=-f''(x)$ . Además, usted escribió que $g(x)=f'(x)$ implica $g'(x)=f''(x)$ .

Sustituyendo estos resultados en \ref{1}... \begin{align} F'(x)&=f(x/2)\cdot f'(x/2)+g(x/2)\cdot g'(x/2)\\ &=-f''(x/2)\cdot f'(x/2) + f'(x/2)\cdot f''(x/2)\\ &=0 \end{align}

Tenemos que $F'(x)=0$ Así que $F(x)$ es una constante.

Desde $F(5)=5$ tenemos que $F(x)=5$ y así $F(10)=5$ .