Pregunta del examen de bachillerato: Recta que interseca con recta(s) de valor absoluto y discriminantes

Question

He aquí una pregunta que me he encontrado en un reciente examen de secundaria.

Halla el intervalo de valores de m tal que la recta $y=mx-3$ se cruza con la gráfica de $ y=2-|3x - 5|$ exactamente en dos puntos.
La respuesta es $-3 < m < 3$ .

Fotografía El método sugerido para resolver esto por el organizador del examen es:
1. Traza la(s) recta(s) de valor absoluto.
2. Calcula los dos gradientes de la(s) recta(s) de valor absoluto.
3. Utiliza la lógica para determinar el intervalo de valores en el que la recta interseca con ambas rectas de valor absoluto.

Imagen de otro método

Sin embargo, probé a utilizar otro método.
1. Resolver simultáneamente
2. Convertirlas en una única ecuación cuadrática
3. Utilizar el discriminante para encontrar 2 intersecciones

Pero no obtengo la respuesta correcta. ¿Qué ha fallado?

También he probado a dividir $y = 2-|3x - 5|$ en 2 ecuaciones diferentes, $y=2 - 3x + 5$ y $y=2 + 3x - 5$ pero tampoco tuvo demasiado éxito. Intento fallido

No tengo ni idea de por qué ambos métodos son erróneos y estoy confundido.

Answer 1

Desea encontrar valores de $m$ tal que la línea $y=mx-3$ se cruza con

con el gráfico de $ y=2-|3x - 5|$ exactamente en dos puntos.

Tenga en cuenta que para $x\le\dfrac53, y=2+3x-5=3x-3,$ así que $y=mx-3$ se cruza con $y=3x-3$ sólo cuando $x=0\le\dfrac53$ (a menos que $m=3$ en cuyo caso hay infinitos puntos de intersección).

Así pues (cuando $m\ne3)$ tenemos un punto de intersección cuando $x\le\dfrac53,$ por lo que queremos exactamente un punto de intersección cuando $x>\dfrac53$ . En $x>\dfrac53$ , $y=2-3x+5=7-3x,$ y esto interseca $y=mx-3$ cuando $x=\dfrac{10}{m+3}$ (a menos que $m+3=0$ en cuyo caso no hay intersección), como has calculado correctamente. Ahora queremos $\dfrac{10}{m+3}\gt\dfrac53;$ es decir, $\dfrac6{m+3}>1.$

Esto ocurre cuando $m+3>0$ y $m+3<6$ es decir, $-3<m<3$ .

Answer 2

Pista: Hay que distinguir los casos: $x\geq \frac{5}{3}$ y se obtiene la función $$y=2-3x+5=-3x+7$$ Y en el otro caso: $x<\frac{5}{3}$ entonces tenemos $$y=2+3x-5=3x-3$$

Answer 3

Primero cambiaría el sistema de coordenadas haciendo $y\to y+2$ por lo que el problema es determinar $m$ de tal manera que la línea $y=mx-5$ se cruza con la gráfica de $y=-|3x-5|$ .

Esto se convierte en encontrar las intersecciones \begin{cases} y=mx-5 \\ y^2=(3x-5)^2 \\ y\le0 \end{cases} El resolvente pasa a ser $m^2x^2-10mx+25=9x^2-30x+25$ Así que $$ (m^2-9)x^2+(30-10m)x=0 $$ Para $m=3$ la ecuación se convierte en $0=0$ la línea $y=3x-5$ incluye de hecho infinitos puntos del gráfico dado.

Para $m\ne3$ no es necesario hallar el discriminante, porque la ecuación se convierte en $(m-3)(m+3)x^2-10(m-3)x=0$ ; en el caso $m=-3$ la única solución es $x=0$ en caso contrario, las soluciones son $x=0$ y $x=10/(m+3)$ .

Obsérvese que podemos eliminar así los casos $m=3$ y $m=-3$ de consideración.

Para $x=0$ encuentras $y=-5$ que cumple el requisito. Para $m\ne\pm3$ la segunda intersección está en $$ x=\frac{10}{m+3} $$ y obtenemos $$ y=\frac{10m}{m+3}-5=\frac{10m-5m-15}{m+3}=5\frac{m-3}{m+3} $$ que es $\le0$ sólo si $-3<m<3$ (recuerde que eliminamos los casos $m=\pm3$ de antemano).

Answer 4

$$mx-3 = 2-|3x-5|\implies |3x-5|^2 = (5-mx)^2$$

Así que $$x^2(9-m^2)-10x(3-m)=0$$ Así que $x=0$ es siempre una solución. Diga $x\ne 0$ entonces obtenemos

$$(3+m)\Big(x(3-m)-10x\Big)=0$$

Si $m=-3$ no tenemos solución si $m=3$ cada $x$ es una solución.

Así que si $m\neq \pm 3$ $$x ={10\over 3+m}\neq 0$$ y así $2$ solución.

Ahora tienes que comprobar cuando este valor se ajusta a la ecuación de partida:

$$\Big|{3-m\over 3+m}\Big| ={3-m\over 3+m}$$

Así que $${3-m\over 3+m}\geq 0\implies m\in (-3,3)$$