Cuantificadores en la declaración Set Builder

Question

¿Pueden los siguientes conjuntos ser diferentes debido al cambio de cuantificadores?

$$ \begin{aligned} A &= \{ x : \exists{y}\ni P(x, y) \} \\ B &= \{ x : \forall{y}\,P(x, y) \} \end{aligned} $$

Por ejemplo, la definición del dominio de un grafo $ G $ es $ \{ x: \exists{y}\ni (x, y) \in G \} $ . ¿Cuál es la diferencia si decimos $ \{ x: \forall{y}\ni (x, y) \in G \} $ ?

Answer 1

$ \{ x \: | \: \exists{y} \: (x, y) \in G \} $ significa todo $x$ de forma que exista algún $y$ tal que $(x,y) \in G$ ... así que ése es efectivamente el dominio del gráfico.

$ \{ x\: | \: \forall {y} \: (x, y) \in G \} $ sería todo $x$ tal que para todo $y$ es cierto que $(x,y) \in G$ ... por lo que serían los puntos $x$ que están conectados a todos puntos $y$ ... que es diferente.

Ejemplo:

Supongamos que $ G$ se define en $\{1,2,3\}$ y digamos $G = \{(1,1),(1,2),(1,3),(2,1)\}$ . Entonces $ \{ x \: | \: \exists {y} \: (x, y) \in G \} $ sería $\{1,2\}$ ya que ambos $ 1$ y $2$ mapa a algunos punto (pero $3$ no lo hace), pero $ \{ x\:|\: \forall {y} \: (x, y) \in G \} = \{1\}$ ya que sólo $1$ está conectado a todos puntos.