Subgrupo propio del normalizador de un grupo finito impies nilpotente.

Question

Así que me encontré con este ejercicio: Que $G$ ser finito. Si cada subgrupo propio $H$ de $G$ tiene la propiedad $H < N_G(H)$ entonces $G$ es nilpotente.

Puedo demostrar lo contrario por inducción en la clase de nilpotencia de $G$ pero estoy un poco atascado aquí.

Answer 1

Basta con demostrar que todo Sylow $p$ -subgrupo $P$ de $G$ es normal. Pero $N_G(P) = N_G(N_G(P))$ por lo que su hipótesis implica $N_G(P) = G$ .