¿Cómo resolver esta desigualdad? $\sin x < 2x^3$

Question

La ecuación es

$\sin x < 2x^3$

Los pasos que he dado hasta ahora son:

$\sin x < 2x^3$

$\sin x - 2x^3 < 0$

Para resolver esto debo buscar cuando la pendiente es $0$ por lo que puede encontrar el max y min puntos y determinar la dirección de la ecuación.

$\frac{d}{dx}\sin x - \frac{d}{dx}2x^3 < 0 \ $

$\cos x - 6x^2 < 0 \ $

El max y min se encuentran al $\cos x = 6x^2$

No estoy seguro de cómo me puede resolver esta última parte, ya que no puede tomar arccos de $6x^2$

Answer 1

Introducción

Totalmente de aclarar la situación para el OP, primero voy a explicar un método general para la solución de las desigualdades, seguido por una breve explicación del Método de Newton.

Método General de solución de las desigualdades

Para encontrar la región satisfecho por una desigualdad, lo primero que se puede encontrar los puntos que definitivamente no será satisfecho por la desigualdad.

Para explicar esto, voy a demostrar mediante un ejemplo que se puede resolver de forma explícita, sin recurrir a métodos numéricos. Una vez que entendemos el proceso básico de la solución de desigualdades en el uso de los puntos, podemos aprender cómo encontrar los puntos con métodos numéricos.

Supongamos que tenemos la desigualdad

$$x^2 < 4$$

Esto significa que siempre que $x^2=4$, la desigualdad no es cierto. De hecho, las soluciones para $x^2 = 4$ constituyen los límites para la región satisfecho por la desigualdad. La solución de la ecuación de $x^2 = 4$$x$, obtenemos $x=\pm 2$.

Trazado de estos puntos en una recta numérica, vemos lo siguiente:

Debido a que estos son los límites de la $x^2 < 4$, se debe utilizar círculos abiertos, en lugar de círculos cerrados para representar los puntos.

Ahora podemos comprobar que las regiones que satisfacen la desigualdad. Las tres regiones son

$$x < -2 \\ -2 < x < 2\\ x > 2\\ $$

Comprobamos cada región utilizando cualquier punto de la región. Por ejemplo,

si $x < -2$ satisface $x^2 < 4$,$(-3)^2 < 4$. Esto no es cierto, así que sabemos que la región de $x < -2$ no es una solución para la desigualdad. Hacemos verificaciones similares para las otras dos regiones, y parece que la única región que satisface la desigualdad es $-2 < x < 2$.

Así hemos resuelto la desigualdad $x^2 < 4$. Sabemos que para resolver una desigualdad, simplemente debemos encontrar las raíces de la equivalente a la igualdad, luego de la prueba de las regiones alrededor de cada raíz. Esto puede ser aplicado a cualquier desigualdad, suponiendo que podemos encontrar las raíces de la equivalente a la igualdad.

El Método de Newton

A veces nos encontramos con ecuaciones para los que no podemos encontrar fácilmente las raíces. (Recuerde que tenemos que encontrar las raíces de la equivalente a la igualdad nos podemos encontrar con las regiones, para la desigualdad.) El Método de Newton nos permite de forma iterativa aproximado de las raíces de un gran número de funciones.

El Método de Newton es generalmente enunciarse de la siguiente manera, donde $x_n$ es nuestra primera aproximación de la raíz y de la $x_{n+1}$ es ligeramente mejorada de la aproximación del Método de Newton: (me estoy robando este de @nbubis así que no tengo que escribir.)

$$x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$$

Para utilizar el Método de Newton, debemos comenzar con una razonablemente buena opcion para las raíces. Tenga en cuenta que el Método de Newton sólo puede encontrar una raíz en un tiempo, y por lo general el hogar en la raíz de lo que se está más cerca.

Solución a la pregunta original

Estamos tratando de resolver la desigualdad $\sin x < 2x^3$, por lo que debemos encontrar las raíces de la equivalente a la igualdad: $\sin x = 2x^3$. Fácilmente podemos ver que $x=0$ es una solución de la igualdad. También, tanto en $\sin x$ $2x^3$ son simétricos alrededor de la línea de $y=x$, de modo que si x es un elemento positivo de la raíz, luego el negativo de la raíz -x también existe, como @nubis mencionado.

No acabo de seguir a @nubis' explicación de que "$|x| < \sqrt[3]{1/2} \sim 0.79$". Sin embargo, creo que es fácil ver que cuando se $x$ es positivo, tanto en $\sin x$ $2x^3$ son positivas en la región de $0 < x < \pi$. Además, sabemos que el $\sin x \leq 1$, en todos los tiempos, mientras que $2x^3 > 1$ al $x > 1$. Por lo tanto el positivo de la raíz se encuentra en la región $0 < x \leq 1$

Una vez más, podemos seguir a @nbubis' plomo mediante la aproximación de la raíz como $x = \frac{1}{2}$. (Usted no tiene que utilizar esta aproximación. La belleza del Método de Newton es que cualquier razonablemente cerca de aproximación normalmente funciona. Para tener una idea de cómo funciona el método, trate de sustituir a 0,4, 0,8 (o cualquier número entre 0 y 1) para ver cómo converge. También se podría tratar de algo ridículamente lejos, como el 20, a ver qué pasa a continuación.)

El Método de Newton estados

$$x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$$

Podemos reordenar la ecuación de $\sin x = 2x^3$$\sin x - 2x^3 = 0$.

Ahora

$$f(x) = \sin x - 2x^3\\ f'(x) = \cos x - 6x^2\\ $$

y nuestra primera aproximación de la raíz es $x_0 = 0.5$. Así

$$\begin{align} x_{n+1} &= x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}\\ &= x_n - \frac{\sin x - 2x^3}{\cos x - 6x^2}\\ x_1&= 0.5 - \frac{f(0.5)}{f'(0.5)}\\ &= 0.5 - \frac{\sin (0.5) - 2(0.5)^3}{\cos (0.5) - 6(0.5)^2}\\ &= 0.8686039699 \end{align}$$

Sustituyendo $x_1$ nuevo en el Método de Newton como nuestra nueva aproximación ($x_n$), se obtiene una aproximación más cercana para $x_2$ y así sucesivamente. Como @nbubis mostró,

$$\begin{align} x_2 &= 0.72759492\\ &...\\ x_5 &= 0.67996445\\ \end{align}$$

Puede repetir este proceso hasta que se aburre, o si usted decide buscar a $\sin x = 2x^3$ en Wolfram Alpha. =P

Hemos encontrado el positivo de la raíz de la ecuación. $x = 0.67996445$. Sabemos que a partir de principios de los argumentos de que el negativo de la raíz es $-x$, por lo que la negativa de la raíz es $x = -0.67996445$.

Ahora tenemos todas las raíces de la ecuación!

$$\begin{align} x &= -0.67996445\\ x &= 0\\ x &= 0.67996445\\ \end{align}$$

Estos puntos definen cuatro regiones, como se muestra a continuación:

Ahora simplemente seguimos los pasos exactos que hemos utilizado antes para encontrar las regiones especificadas por una desigualdad una vez que sabemos que las raíces de la equivalente a la igualdad.

Cambiamos los círculos cerrados de la igualdad a los círculos abiertos de la desigualdad:

Luego, revisamos cada región como antes, y encontrar el resultado:

$$\begin{align} -0.67996445 < x &< 0\\ x &> 0.67996445\\ \end{align}$$

Conclusión

Todo esto se ve increíblemente largo y arduo. Sin embargo, con la práctica (y cuando usted no está incluida en cada paso, en una explicación =P) usted probablemente puede resolver esto en menos de cinco minutos.

Buena suerte con tu futuro de la matemática de los esfuerzos.

Answer 2

Primera resolver por la igualdad. Esta ecuación sólo puede ser resuelto numéricamente, pero usted puede notar una serie de cosas sin necesidad de un ordenador:

• $x = 0$ es una solución.
• Para cualquier solución $x$, -$x$ también es uno.
• Desde $\sin x < 1$, cualquier solución debe tener: $|x| < \sqrt[3]{1/2} \sim 0.79$

Numéricamente usted encontrará que: $$x \sim -0.68, 0, 0.68$$ , de Modo que su desigualdad se satisface cuando: $$x > 0.6799..$$ $$-0.6799.. < x < 0$$

Editar: usar el método de Newton para resolver $f(x) = \sin x - 2x^3 = 0$, comenzamos con algunos adivinar el valor de $x_0$, y el iterar: $$x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)} = x_n - \frac{\sin x - 2x^3}{\cos x - 6x^2}$$ Decir empezamos con $x_0 =0.5$, entonces el siguiente iteraciones conduce a: $$x_1 = 0.86860396$$ $$x_2 = 0.72759492$$ $$x_3 = 0.68425682$$ $$x_4 = 0.68000441$$ $$x_5 = 0.67996445$$ Como se puede ver, la más repetimos, a medida que nos acerquemos a el resultado "true". Esto es lo que se entiende por numéricamente - usted no puede encontrar un cerrado expresión de la solución, pero usted puede encontrar el valor numérico.