Sea $A_1, A_2,\dots$ sea una secuencia de subconjuntos finitos disjuntos de $\mathbb{N}$ . ¿Cómo puede $\bigcup_{n=1}^\infty A_n$ ser finito o infinito?

Question

Sea $A_n$ sean subconjuntos finitos de $\mathbb{N}$ que no son $\emptyset$ y $\forall i,j, i\not = j$ , $A_i, A_j$ son disjuntos, entonces debe $$\bigcup_{n=1}^\infty A_n = \mathbb{N}$$ y por tanto ser (contablemente) infinito?

Así que básicamente estoy buscando un ejemplo de $A_1,A_2,\dots$ tal que $$\bigcup_{n=1}^\infty A_n$$ es finito.

O, ¿es la única manera de que la unión infinita sea finita para $A_i =A_j = \emptyset$ ?

Gracias.

Editar: Un comentario ha respondido cómo $\bigcup_{n=1}^\infty A_n \not = \mathbb{N}$ es posible. No estoy seguro de si debe ser infinito, sin embargo, cuando $A_n \not = \emptyset$

Answer 1

Debe ser contable (es decir, en biyección con $\Bbb N$ ), pero no necesariamente $=\Bbb N$ .

Sea $f: \Bbb N \to \bigcup_n A_n$ viene dada por $f(n) = \min A_n$ . Es evidente que $f$ es inyectiva, por lo que $\bigcup_n A_n$ es al menos tan grande como $\Bbb N$ . Ahora bien, como la unión contable de conjuntos finitos es a lo sumo contable, se deduce que $\cup_n A_n$ es contable.

Como se sugiere en los comentarios, la secuencia $(A_n)$ donde $A_n := \{3n\}$ cumple el requisito, pero la unión no es $\Bbb N$ .

Answer 2

Si el $A_i$ son no vacíos y disjuntos, cada uno debe contener un número entero distinto. Por lo tanto, cualquier subconjunto finito de $\mathbb{N}$ sólo puede contener un número finito de $A_i$ ya que $\bigcup_{i=0}^N A_i$ contiene al menos $N$ enteros distintos.

En conclusión, sí, la unión debe ser infinita en estas condiciones, pero como se señala en los comentarios, no es necesario que sea toda de $\mathbb{N}$ .