Ecuación diferencial $x\dfrac{dy}{dx}-xy=y^2$

Question

¿Cómo reordeno esta EDO de modo que pueda utilizar las técnicas básicas de EDO para resolverla, es decir, separable, de primer orden utilizando el factor integrador y/o la EDO exacta?

$x\dfrac{dy}{dx}-xy=y^2$

Answer 1

Sugerencia

Con el mismo espíritu que el comentario de Raskolnikov, defina $$y=\frac{e^x}{z}$$ y terminará con $$z'=-\frac{e^x}{x}$$ de la que $$z=-\text{Ei}(x)+C$$ donde $\text{Ei}(x)$ es la integral exponencial.

Añadido tras descubrirse la errata.

Sea $y_n$ sea la solución de la ecuación diferencial $$x^n\dfrac{dy}{dx}-xy=y^2$$ y ver el impacto de una errata en el valor del exponente $n$ .

Tenemos $$y_0=\frac{2 e^{\frac{x^2}{2}}}{C-\sqrt{2 \pi } \text{erfi}\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right)}$$ $$y_1=\frac{e^x}{C-\text{Ei}(x)}$$ $$y_2=\frac{x}{C-\log (x)}$$ $$y_3=\frac{x}{C e^{\frac{1}{x}} x-x-1}$$ $$y_4=\frac{2 x}{ C e^{\frac{1}{2 x^2}} x+\sqrt{2 \pi } e^{\frac{1}{2 x^2}} x \text{erf}\left(\frac{1}{\sqrt{2} x}\right)-2}$$ etc.