Extensión finita de Galois

Question

Sea $K/ \mathbb{Q}$ sea una extensión finita de Galois, $K \otimes_{\mathbb{Q}} \mathbb{R} \simeq \mathbb{R}^s \oplus \mathbb{C}^t$ . Demostrar que $s=0$ o $t=0$ .

Answer 1

Los automorfismos de $K/\Bbb Q$ son continuas, por lo que se extienden hasta una terminación. Si denotamos un lugar infinito por $\mathfrak{p}$ sabemos que una terminación es $K_{\mathfrak{p}}$ . Como todas las demás terminaciones vienen dadas por $\sigma(K)_{\sigma(\mathfrak{p})}$ y $\sigma(K)=K$ (puesto que se trata de una extensión de Galois) utilizamos el hecho de que $\text{Gal}\left(K/\Bbb Q\right)$ permuta los lugares transitivamente para concluir que todas las terminaciones son isomorfas como $\Bbb R$ espacios vectoriales, en particular tienen la misma dimensión.

Ahora como

$$K\otimes_{\Bbb R}\Bbb R \cong\prod_{\mathfrak{p}\text{ real}}K_{\mathfrak{p}}\times\prod_{\mathfrak{p}\text{ complex}}K_{\mathfrak{p}}$$

concluimos el resultado.

Answer 2

[Addendum] Se sabe que aquí $s$ es el número de incrustaciones reales distintas de $K$ y $d$ es el número de pares de complejos conjugados de incrustaciones de $K$ . Me propuse demostrar esta forma de la demanda. Es decir, intento demostrar que o bien todas las incrustaciones de $K$ son reales o ninguno lo es. [/Addendum]

En $\Bbb{C}$ es algebraicamente cerrado podemos suponer que $K$ es un subcampo de $\Bbb{C}$ . Sea $[K:\Bbb{Q}]=n$ . Se sabe que hay exactamente $n$ incrustaciones $\sigma_1,\sigma_2,\ldots,\sigma_n$ de $K$ a $\Bbb{C}$ . Pero también sabemos que $K$ siendo Galois, tiene $n$ distintos automorfismos. Se deduce que las incrustaciones anteriores son exactamente los automorfismos de $K$ y, por tanto, tienen la propiedad $\sigma_i(K)=K$ . En $K$ es o no es un subconjunto de los reales la afirmación se deduce de esto.