Un ejercicio sobre los componentes de $\mathbb{S}^2$ como superficie combinatoria cerrada.

Question

Supongamos que la esfera $ \mathbb{S}^2 $ tiene la estructura de una superficie combinatoria cerrada. Sea $C$ sea un subcomplejo que sea un círculo simplicial. Supongamos que $ \mathbb{S}^2\backslash C$ tiene dos componentes. En efecto, supongamos que esto es cierto para cada círculo simplicial en $ \mathbb{S}^2 $ . Sea $E$ ser uno de estos componentes. [ $ \mathbb{S}^2\backslash C$ debe tener 2 componentes, pero no intentaremos demostrarlo].

Sea $\sigma _1$ sea un 1-simplex en $C$ . Desde $\mathbb{S}^2$ es una superficie combinatoria cerrada, $\sigma _1$ i 2-simples. Demostrar que precisamente uno de estos 2-símplices se encuentra en $\overline{E}$ .

¿Sería posible una pista sobre cómo enfocar esto? Pensé en utilizar la conectividad de $\overline{E}$ que da un camino de aristas entre dos vértices cualesquiera de $\overline{E}$ pero no consigo que funcione.

La pregunta completa lleva a una demostración de un teorema de la curva de Jordan más débil, por si sirve de ayuda.

Gracias de antemano.

Answer 1

Usted supone que $S^2 - C$ consta de dos componentes $E_1, E_2$ . Dado que el interior de cada 2-simplex $s\subset S^2$ está conectado, si $int(s)\cap E_i\ne \emptyset$ entonces $int(s)\subset E_i$ . Desde $E_1\cap E_2=\emptyset$ , $int(s)$ no puede tener intersección no vacía con $E_1, E_2$ . Elige un punto $p\in int(s)$ . Desde $S^2 - C= E_1\cup E_2$ , $p$ se encuentra en $E_1$ o en $E_2$ . Supongamos que es $E_1$ . Entonces, por lo anterior, $int(s)\subset E_1$ . Por lo tanto, $s\subset cl(E_1)$ . Desde $int(s)\cap E_2=\emptyset$ , $s$ no puede contenerse en $cl(E_2)$ .

Sea $e$ sea una arista de $s$ contenida en $C$ y que $s'$ es otro simplex de $S^2$ que contiene esta arista. Afirmo que $s'$ no puede contenerse en $E_1$ . Supongamos que está contenido en $E_1$ también. Deja que $T^*$ sea la triangulación de $S^2$ dual a la triangulación original $T$ : Vértices de $T^*$ están en los baricentros de $T$ bordes de $T^*$ . Desde $s'$ está en $s'$ existe una trayectoria poligonal inyectiva $p$ en 1-esqueleto de $T^*$ que figura en $E_1$ y que conecta los baricentros $b, b'$ de $s, s'$ . Ahora, añade a $p$ el borde $e^*$ de $T^*$ conectando $b, b'$ . El resultado es un círculo poligonal $C^*$ contenida en el esqueleto 1 de $T^*$ que cruza $C$ exactamente una vez. Esto es imposible ya que ambos bucles son nulos-homólogos y el número de intersección algebraica de bucles nulos-homólogos es cero.