Qué $\sum{\frac{\sin{(nx)}}{n}}$ convergen uniformemente para todos los $x$ $[0,2\pi]$

Question

Esta pregunta surge debido a un problema que me estaba haciendo (Bartle 3ª edición, sección 9.4 (problema 3). Fue de esta manera.
Dado $a_n$ una disminución de la secuencia de números positivos y supongamos que $$\sum_{n=0}^{\infty}{a_n \sin{(nx)}}$$ Converge uniformly (It doesn't specify the domain, so I guess is for every x). Prove that $n a_n \a 0$.
Clearly $\frac{1}{n}$ fits the description of $a_n$, and $n \frac{1}{n} \1 \neq 0$, so this would prove that there is a mistake in the problem if $\sum{\frac{\sin{(nx)}}{n}}$ converge uniformly for all $x$.
Así que mi pregunta es si $\sum{\frac{\sin{(nx)}}{n}}$ convergen uniformemente para cada $x$.

(Sé que la serie converge uniformemente para cada x en $[\delta, 2\pi - \delta]$ $0 < \delta <2\pi$ utilizando el criterio de Dirichlet.)

Answer 1

La suma de la serie es no continua (se puede ver esto como la serie de Fourier para una sierra de dientes de la función; o, simplemente, comprobar el comportamiento alrededor de x=0), por lo que la convergencia no puede ser uniforme. Cada sumando es obviamente una función continua, y uniformemente convergente serie de funciones continuas es continua.

Answer 2

Sugerencia:

El uso de Cauchy Criterio para demostrar que su infinita serie no converge uniformemente para todos los $x\in[0,2\pi]$.