Topología algebraica no estándar

Question

Que * $\mathbb R$ un campo de números reales no estándar (o cualquier campo real cerrado) dotado de su métrica generalizada natural $d(x,y)=|x-y|$ . Equipar * $\mathbb R^2$ y * $\mathbb R^3$ con el $\ell^1$ -(generalizado)-métrico.

Pregunta: ¿Existe un homeomorfismo entre * $\mathbb R^3$ y * $\mathbb R^2$ ?

Bueno, esta es la subpregunta más simple de la más general

Pregunta: ¿Hay alguien desarrollando Topología Algebraica no estándar? Si no es así, ¿hay alguna razón en particular?

Gracias de antemano,

Valerio

Answer 1

Como se menciona en los comentarios, la topología real en la extensión no estándar puede ser bastante desagradable. Esto se ilustra, por ejemplo, en la primera serie de problemas de estas notas . Una solución consiste en sustituir las nociones topológicas estándar por definible análogos. Entonces las cosas funcionan sobre todo en una estructura o-minimal arbitraria. Esto también se explica en las notas anteriores.

Más específicamente sobre topología algebraica en los entornos o-minimales, hay varios trabajos de Berarducci y de Edmundo

Answer 2

Qu 2. En los años setenta se publicaron algunos artículos sobre el análisis no estándar y la teoría de la forma en el sentido de Borsuk. El autor fue Frank Wattenberg. La referencia es Fund. Math. 98 (1978), 41-60.

No sé si se publicó algo más, aunque vi un preprint de otro artículo. Tampoco sé si esas ideas han tenido continuidad.