¿Qué tipo de cardenal grande puede $\aleph_1$ sin el axioma de la elección?

Question

Asumiendo el axioma de elección es muy fácil ver que $\aleph_1$ es un Joe regular de un cardenal sucesor. No es muy grande en ningún sentido, excepto en el hecho de que es el primer cardinal incontable.

Sin embargo, si partimos de un modelo de ZFC+Inaccesible, podemos construir modelos de ZF en los que $\aleph_1$ es algo inaccesible en el sentido de que $\aleph_1\nleq 2^{\aleph_0}$ Si, por el contrario, partimos de un modelo de ZF que tiene esta propiedad, entonces existe un modelo interior con un cardinal inaccesible.

Puede ser que $\aleph_1$ es un cardinal medible, incluso se puede tener que cada subconjunto de $\omega_1$ contiene un palo, o no es estacionario; y es posible que $\aleph_1$ para tener la propiedad de árbol (sólo conozco modelos de Apter en los que todos los cardinales sucesores tienen la propiedad de árbol; pero eso requeriría una clase propia de cardinales muy grandes).

En general, decimos que $\aleph_1$ es P-grande para una propiedad cardinal grande P, si es consistente con ZF que $\aleph_1$ tiene la propiedad P, y a partir de dicho modelo podemos producir un modelo de ZFC+ $\kappa>\aleph_0$ tiene la propiedad P.

Pregunta: ¿Existe un límite en la cantidad de P-large que puede $\aleph_1$ ¿ser? (por ejemplo, P puede ser propiedad del árbol/ $\kappa$ -completo/medidas supercompactas/etc.) y ¿existen propiedades P tales que para $\aleph_1$ para tenerlos necesitamos más que ZFC+P?

Answer 1

-----editado para incluir correcciones, gracias Joel y Tanmay-----

A partir de un modelo de "ZFC + $large(\kappa)$ " puede obtener un modelo de "ZF + $large(\kappa)$ + $\kappa=\omega_1$ " si $large(\ )$ es una propiedad cardinal grande que se conserva bajo forzamientos pequeños y puede escribirse de la forma

"para cada conjunto de ordinales $X$ existe un conjunto $Y$ tal que $\phi(X,Y)$ sujeta", para alguna fórmula absoluta hacia arriba $\phi$ ,

así por ejemplo débilmente compacta, Ramsey, medible. El modelo que usarías es básicamente el modelo de Jech para hacer $\omega_1$ medible en " $\omega_1$ puede medirse". .

Para más detalles, véanse los comentarios a continuación, la respuesta de Tanmay y mi tesis "Modelos simétricos, patrones cardinales singulares e indiscernibles" Capítulo 1, apartado 3.3. Estos cardinales grandes se denominan "preservados bajo forzamiento simétrico".

Para el caso contrario (un límite de tamaño puede $large(\ )$ be), como dijo Trevor Wilson, medible en ZF da medible en ZFC, y supongo que argumentos similares funcionarían para grandes propiedades cardinales que son "preservadas bajo forzamiento simétrico". Pero supongo que no es un límite muy bueno y ahora mismo no se me ocurre/recuerdo algo mejor. Si lo hago volveré a contestar.

Answer 2

También es posible hacer $\omega_1$ supercompacto, utilizando la misma construcción Jech. Lo único extra que se requiere aquí es demostrar que las medidas finas generan medidas finas en extensiones de forzamiento "pequeñas". Realicé un pequeño proyecto (bajo la supervisión de Benedikt Loewe) sobre esto hace unos meses, y el resumen se puede encontrar en aquí . El resultado relevante es el Lemma 26.

Que $\omega_1$ puede ser supercompacto fue demostrado por primera vez por Takeuti en 1970 en "A relativisation of axioms of strong infinity to $\omega_1$ ", donde también (independientemente de Jech) demostró que $\omega_1$ puede ser medible. Debo añadir que su terminología es un poco diferente, pero ahora mismo no tengo acceso al artículo, así que no puedo decirte a qué llama él (lo que ahora llamamos) cardinales supercompactos. También debo añadir que toda mi terminología procede de la tesis de Ioanna.

Answer 3

En el documento

" La consistencia relativa de una propiedad "gran cardinal'' para $\omega_1$ , Rocky Mountain J. Math. 20 (1990), nº 1, 209-213".

se demuestra que un modelo de ZFC con un cardinal enorme puede extenderse a un modelo de ZF en el que $\omega_1$ es enorme.

El enlace al documento: http://projecteuclid.org/euclid.rmjm/1181073173

Answer 4

Esto se hizo demasiado largo para un comentario: Ioanna, no puedo $\phi$ incluso ser $\Sigma_1$ ? Según tengo entendido, el truco principal es que usando el 'Lemma de Aproximación' de tu tesis, puedes demostrar que cualquier conjunto de ordinales $X$ en el ( $\mathsf{ZF+ \neg AC}$ ) obtenido mediante la construcción Jech existe realmente en algún modelo intermedio ( $\mathsf{ZFC}$ ). Estos modelos suelen ser también extensiones forzadas por órdenes parciales "pequeños", por lo que se puede utilizar el teorema de Levy-Solovay para la propiedad de cardinal grande para decir que el cardinal sigue siendo `grande', y por tanto existe un conjunto $Y$ tal que $\phi(X,Y)$ sostiene, y luego por absolutos hacia arriba tienes que $\phi(X,Y)$ se mantiene en el $\mathsf{ZF+\neg AC}$ modelo también.