No estoy seguro de que sea una pregunta completa y temo que sea rechazada. De todos modos, intento plantearla. Mi pregunta está relacionada con el uso de módulos D para estudiar EDP (y sistemas de EDP). Cuando estaba leyendo "A primer of algebraic D-modules by S. C. Coutinho" la justificación de la importancia de los módulos D; proporcionan una herramienta algebraica para la solución de ecuaciones diferenciales. ¡Esta es la historia que siempre escucho! ¿Alguien tiene una referencia o más información sobre los módulos-D y la solución algebraica de las EDP?
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jt.
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Mi conjetura es que se trata de una referencia a la prueba de Bernshtein utilizando la teoría de los módulos D de que todo operador diferencial parcial de coeficiente constante $D$ tiene una solución fundamental, es decir, existe una solución distribucional a la EDP $Du = \delta$ donde $\delta$ es la distribución de Dirac. Se trata de un teorema importante en el análisis debido a Malgrange y Ehrenpreis en la década de 1950, y creo que me sorprendió un poco que se pudiera hacer de forma puramente algebraica: toda la información analítica se resume en unos cuantos hechos básicos sobre distribuciones. Todo el mundo sabe que el teorema fundamental del álgebra se demuestra en clase de análisis; ¡quizá esto signifique que el teorema fundamental del análisis se demostrará algún día en clase de álgebra!
Aquí hay un enlace al artículo de Bernshtein: http://www.math.tau.ac.il/~bernstei/Lista_de_publicaciones/textos_de_publicaciones/bernstein-mod-dif-FAN.pdf . Esto se escribió en los años 70, y creo que desde entonces el argumento se ha depurado y se ha hecho aún más algebraico.
Tal vez busque algo más profundo, pero justo al principio del libro de Hotta, Takeuchi y Tanisaki sobre D-mods, en la introducción, se encuentra la conexión con las EDP lineales.
Cito:
Por lo tanto, los sistemas de ecuaciones diferenciales parciales lineales pueden ser ident D-módulos que tienen algunas presentaciones finitas como (0.0.3), y el propósito de la teoría de las EDP lineales es estudiar el espacio de soluciones HomD(M, O). Puesto que el espacio HomD(M, O) no depende de las descripciones concretas (0.0.2) y (0.0.3) de M (sólo depende de la clase de isomorfismo D-lineal de M) problemas analíticos a través de módulos D izquierdos que admiten presentaciones finitas. En la lenguaje de las categorías, la teoría de las EDP lineales no es más que la investigación del functor contravariante HomD(-, O) desde la categoría M(D) de módulos D que admite presentaciones finitas a la categoría M(C) de módulos C.
