Probabilidad de obtener la misma configuración en 2 lanzamientos con R dados

Question

EDIT: Ya existe la misma pregunta: Probabilidad de lanzar dos veces seguidas el mismo multiconjunto con seis dados

Estoy tratando de encontrar una solución general para un problema de Feller's Libro (p. 56):

18. ¿Cuál es la probabilidad la misma configuración si (a) los dados son distinguibles, (b) no lo son?

Me interesa el caso (b) pero no sólo para tres dados. Perdón si el post es demasiado largo. He intentado resumir mi razonamiento demasiado complicado.

Sea $N = 6$ el número de caras de un dado y $r$ sea el número de lanzamientos. Número total de resultados posibles en un lanzamiento con $r$ dados es entonces $N^r$ . Dividí los posibles resultados en $r$ categorías. Si $i \in {1, ..., r}$ es el número de caras diferentes de los dados en un resultado (resultado $[1,1,6]$ significa $i=2$ ), luego está

$$ (N)_{i}{r \brace i} $$

diferentes resultados para cada uno $i$ . En $(N)_{i}$ es factorial descendente y representa el número de opciones para $i$ diferentes lados. En ${N \brace i}$ es un número de Stirling de segundo tipo y representa el número de formas de hacer $i$ subconjuntos no vacíos de un conjunto de tamaño $r$ por ejemplo, para $r=3$ Puedo lanzar dos lados $1$ y un lado $6$ en ${3 \brace 2} = 3$ diferentes maneras: $[1,1,6]$ , $[1,6,1]$ y $[6,1,1]$ . Así que

$$ \sum_{i=1}^r{(N)_{i}{r \brace i}} = {N^r}. $$

Para dos lanzamientos hay $N^{2r}$ posibles resultados. Cuento el número de posibles resultados iguales en la segunda tirada como el número de formas de dividir $r$ dados en $i$ piezas pedidas (laterales). Así, para $r=3$ el número de resultados coincidentes en la segunda tirada es ${3 \choose 3}=1$ para $i=1$ , ${3 \choose 2,1}=3$ para $i=2$ y ${3 \choose 1,1,1}=6$ para $i=3$ . Así que para $r=3$ la probabilidad de que el resultado coincida es

$$ p = \frac{(N)_{1}{3 \brace 1} + 3(N)_{2}{3 \brace 2} + 6(N)_{3}{3 \brace 3}}{N^6} = \frac{83}{3888} $$

que parece ser la respuesta correcta según las soluciones del libro, pero no estoy seguro de si mi razonamiento en la segunda tirada es correcto y si el resultado no es mera coincidencia, porque no se me ocurre cómo generalizarlo para cualquier $r$ . Por ejemplo, puedo dividir $r=5$ dados a $i=3$ lados en $${5 \choose 2,2,1}$$ formas, sino también en $${5 \choose 3,1,1}$$ maneras.

¿Cuál sería la fórmula para cualquier $r$ ¿Por favor? ¿Puede interpretarse este problema de forma más sencilla? Muchas gracias.

Answer 1

Generalizar la respuesta Le di a la otra pregunta que enlazaste para $N\ne r$ produce

$$ \sum_{1n_1+2n_2+\dotso+kn_k=r}\binom{N}{n_1,\ldots,n_k}\left(\frac{r!}{1!^{n_1}\cdots k!^{n_k}}\right)^2 $$

para la versión explícita del número de resultados favorables y

$$ [x^r]r!^2\left(\sum_{k=0}^r\frac{x^k}{k!^2}\right)^N $$

para la versión de coeficientes. Para tu caso, $N=6$ y $r=3$ , Wolfram|Alpha da $996$ para el coeficiente (en "Forma ampliada"). Dividiendo por $N^{2r}$ se obtiene la probabilidad deseada.

Answer 2

Creo que tu pregunta ya tiene la respuesta, tal y como la planteas,

$${5 \choose 2,2,1}\neq{5 \choose 3,1,1} $$

Y esos son los conjuntos relevantes, así que hay que contarlos:

$$F =\sum_{i = 1}^r \;\underset{j_1\geq j_2 \geq \ldots \geq j_i}{\sum_{j_1 +\ldots + j_i = r}}{r\choose j_1,j_2 \ldots ,j_i} N (N-1) \ldots (N - i + 1) $$

Estos son sus acontecimientos favorables. Ahora, para calcular la probabilidad, basta con tomar $$ p =\frac{F}{N^{2r}} $$