El objetivo de esta pregunta es elaborar una lista de referencias sobre el siguiente tema: Vectores fijos $v_1$ , $v_2$ , ..., $v_g$ en $\mathbb{R}^2$ , todos tendidos en un semiplano en ese orden cíclico. Me interesan los alicatados por paralelogramos de la forma $\mathrm{Hull}(z, z+v_i, z+v_i+v_j, z+v_j)$ . Es tradicional en esta materia tomar todas las $v_i$ de la misma longitud, para que las baldosas sean rombos. En mi opinión personal, esta convención es inmotivada, pero obedeceré a la convención y hablaré de teselas de rombos en el resto de este post.
La región más obvia para embaldosar es una simetría central. $2g$ -con aristas de la forma $a_1 v_1$ , $a_2 v_2$ , ..., $a_g v_g$ , $-a_1 v_1$ , ..., $- a_g v_g$ para algunos enteros positivos $a_i$ . También se podrían estudiar las inclinaciones de todo el plano, quizá con algunas condiciones de periodicidad. También estoy abierto a escuchar resultados sobre regiones de otras formas.
Lo que sí quiero es descartar resultados que sean especiales para el caso $g=3$ . Rombos basculantes de un hexágono centralmente simétrico están en biyección con particiones planas, y por lo tanto todas las herramientas de la literatura de particiones planas están disponibles. También están relacionados con los emparejamientos perfectos de la rejilla hexagonal, por lo que pueden estudiarse mediante el método de Kastelyn y herramientas relacionadas. También están en biyección con ciertas familias de caminos no cruzados, por lo que pueden estudiarse mediante el método de Gessel-Viennot. Hay una gran cantidad de herramientas disponibles para el método de $g=3$ caso. Quiero limitar este debate únicamente a las herramientas que funcionan para los mayores $g$ .
Debajo de la línea está lo que sé hasta ahora:
$\bullet$ Los dos casos especiales más obvios son (1) los alicatados de un octógono en los que $(a_1, a_2, a_3, a_4) = (k,k,k,k)$ y (2) tilings de a $2g$ -gon con $a_1=a_2=\cdots=a_g=1$ . Estos son contados por Sloane A093937 y A006245 respectivamente. No existe una fórmula cerrada en ninguno de los dos casos.
$\bullet$ Tales rombos están en biyección con palabras reducidas en $S_{a_1+a_2+\cdots+a_g}$ módulo de conmutación. En particular, el caso en que $a_1=a_2=\cdots=a_g=1$ corresponde a palabras reducidas para la palabra larga en $S_g$ módulo de conmutación. Esto ha sido redescubierto varias veces, pero la referencia canónica parece ser Tilings rómbicos de polígonos y clases de palabras reducidas en grupos Coxeter por Serge Elnitsky.
$\bullet$ Dibujando las trayectorias duales a los rombos obtenemos una disposición de pseudolíneas, a veces llamadas trayectorias de deBruijn.
$\bullet$ Las disposiciones de pseudolíneas pueden describirse mediante matroides orientados. Rastreando a través de este lenguaje, el $a_1=a_2=\cdots=a_g=1$ corresponde al rango $3$ matroides orientados $M$ en el plató $\{ 1,2,\ldots, g, \infty \}$ tal que el matroid subyacente es uniforme y $M/\infty$ es el rango uniforme $2$ matroid orientado donde $\{1,2,\ldots,g \}$ aparecen en ese orden cíclico. Llamamos a ese rango $2$ matroid $U(g)$ . Dualizando, buscamos extensiones del rango $g-2$ matroid orientado $U(g)^{\ast}$ cuyo matroid subyacente es uniforme. Se puede generalizar esta descripción al caso general: El matroid $U(g)$ se convierte en el matroid orientado de rango $2$ compuesto por $g$ clases de paralelismo, de tamaños $a_1$ , ..., $a_g$ en ese orden cíclico.
Las extensiones de matroides orientados fueron estudiadas por Sturmfels y Ziegler . En particular, demostraron que cierto poset asociado a este problema de extensión es homotópico a una esfera.
$\bullet$ Sea $A$ y $B$ sean dos subconjuntos de $\{ 1,2,\ldots, g \}$ . Decimos que $A$ y $B$ están fuertemente separadas si cada elemento de $A \setminus B$ es menor que cada elemento de $B \setminus A$ o es cada elemento de $B \setminus A$ es menor que cada elemento de $A \setminus B$ . Una colección $\mathcal{C}$ de subconjuntos de $\{ 1,2,\ldots, g \}$ se denomina fuertemente separada si cada dos elementos de la colección están fuertemente separados. Una colección se denomina fuertemente separada máxima si está fuertemente separada y no está contenida en ninguna colección fuertemente separada mayor.
Los conjuntos máximos fuertemente separados están en biyección con los rombos tilings del $(1,1,\ldots,1)$ -gon por un resultado de Leclerc y Zelevinsky . Aunque no parece estar en la literatura, la generalización a otros polígonos centralmente simétricos es bastante fácil: Se utiliza el multiconjunto con $a_i$ copias de $i$ . Aquí si $A$ y $B$ son conjuntos múltiples que contienen $u$ y $v$ copias de $i$ entonces $A \setminus B$ es el multiconjunto que contiene $\max(u-v, 0)$ copias de $i$ .
$\bullet$ Dos rombos cualesquiera del mismo $2g$ -gon están unidos por una secuencia de volteos, donde un volteo toma un único hexágono y lo retuerce. Esto es lo mismo que el hecho de que dos palabras reducidas cualesquiera están (hasta la conmutación) unidas por una secuencia de movimientos de trenza.
$\bullet$ Tome el gráfico de volteo mencionado en el punto anterior y diríjalo de modo que, en el lenguaje de los movimientos de trenza, una arista apunte desde $\cdots s_i s_{i+1} s_i \cdots$ a $\cdots s_{i+1} s_i s_{i+1} \cdots$ . El grafo resultante es acíclico, y es el diagrama de Hasse del poset obtenido tomando el cierre transitivo.
Este poset es graduado y tiene elementos mínimos y máximos únicos. Cuando $a_1=a_2=\cdots=a_g=1$ se denomina orden superior Bruhat $B(g,2)$ . Es un enrejado para pequeños $g$ pero $B(6,2)$ es no es un enrejado .
$\bullet$ Sea $1 \leq i < j < k \leq n$ y que $\gamma_i$ , $\gamma_j$ y $\gamma_k$ sean pseudolíneas en direcciones $(i,j,k)$ . Entonces, o bien se cruzan entre sí en el orden $(i,j)$ , $(i,k)$ , $(j,k)$ o al revés. El triple de estas pseudolíneas se denomina triángulo. El triángulo es ordinario si las intersecciones se producen de la primera manera, e invertido si se producen de la segunda.
Para $\gamma$ y $\delta$ en $B(g,2)$ tenemos $\gamma \leq \delta$ si y sólo si todo triángulo invertido en $\gamma$ también se invierte en $\delta$ . Presumiblemente, esto también es cierto cuando algunos de los lados del polígono son más largos que $1$ pero no conozco ninguna referencia.
Para $\gamma$ y $\delta$ dos disposiciones de pseudolíneas, la distancia de volteo de $\gamma$ a $\delta$ está limitado por debajo por el número de triángulos que están invertidos en uno de $\gamma$ y $\delta$ pero no el otro. Este límite inferior es exacto para $g=3$ o $4$ para $g=5$ si uno de los $a_i$ es $1$ y para $(2,2,2,2,2)$ pero no para cualquier otro caso.
$\bullet$ En Teorema de Bohne-Dress : Sea $C$ sea el cubo $\{ (x_1, \ldots, x_g) : 0 \leq x_i \leq a_i \} \subset \mathbb{R}^g$ . Mapa $C$ a $\mathbb{R}^2$ mediante el mapa lineal $\pi$ enviando el $i$ -vector base a $v_i$ . Así que el $2g$ -gon es la imagen de $\pi$ . Entonces los rombos de $\pi(C)$ están en biyección con secciones continuas $\sigma: \pi(C) \to C$ cuya imagen se encuentra en el $2$ -esqueleto del complejo cúbico obvio.
$\bullet$ Varios: algunos lemas interesantes sobre tilings romboidales están demostrados en mi ponencia con Andre Henriques y en Shapiro-Shapiro-Vainshtein .
Hay cosas que particularmente no sé: ¿Conocemos el número aproximado de estos tilings? ¿Podemos tomar muestras uniformes de este conjunto? ¿Ha trabajado alguien en los rombos periódicos? (Seguro que alguien lo ha hecho, pero yo no lo he encontrado.) ¿Cómo son los tilings aleatorios de un octógono grande? (Aunque no se haya demostrado nada, es de suponer que alguien tiene una conjetura.) ¿Hay alguna forma de comparar elementos de $B(g,2)$ en tiempo inferior al orden de $g^3$ ?
