Un árbitro me pidió que incluyera una referencia o prueba del siguiente hecho clásico. No es difícil de demostrar, pero preferiría dar una referencia, ¿alguien conoce alguna?
Sea $X$ sea un espacio agradable (por ejemplo, un colector liso o, más en general, un complejo CW). El grupo topológico de Picard $Pic(X)$ es el conjunto de clases de isomorfismo de $1$ -de haces vectoriales complejos en $X$ . El conjunto $Pic(X)$ es un grupo abeliano cuya operación de grupo es el producto tensorial fibroso, y el primer mapa de clase Chern
$$c_1 : Pic(X) \longrightarrow H^2(X;\mathbb{Z})$$
es un isomorfismo de grupos abelianos.
Ahora supongamos que $H_1(X;\mathbb{Z})$ es un grupo abeliano finito. Una buena construcción de elementos de $Pic(X)$ es la siguiente. Consideremos $\phi \in Hom(H_1(X;\mathbb{Z}),\mathbb{Q}/\mathbb{Z})$ . Sea $\tilde{X}$ sea la cubierta universal, entonces $\pi_1(X)$ actúa sobre $\tilde{X}$ y $X = \tilde{X} / \pi_1(X)$ . Sea $\psi : \pi_1(X) \rightarrow \mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ sea la composición de $\phi$ con el mapa natural $\pi_1(X) \rightarrow H_1(X;\mathbb{Z})$ . Definir una acción de $\pi_1(X)$ en $\tilde{X} \times \mathbb{C}$ mediante la fórmula
$$g(p,z) = (g(p),e^{2 \pi i \psi(g)}z) \quad \quad \text{for $ g \in \pi_1(X) $ and $ (p,z) \en \tilde{X} \veces \mathbb{C} $}.$$
Obsérvese que esto tiene sentido ya que $\psi(g) \in \mathbb{Q} /\mathbb{Z}$ . Defina $E_\phi = (\tilde{X} \times \mathbb{C}) / \pi_1(X)$ . La proyección sobre el primer factor induce un mapa $E_{\phi} \rightarrow X$ que se ve fácilmente que es un haz de líneas complejo. El haz de líneas $E_{\phi}$ se conoce como el haz de líneas planas en $X$ con monodromía $\phi$ .
Ahora, el teorema del coeficiente universal dice que tenemos una secuencia exacta corta
$$0 \longrightarrow Ext(H_1(X;\mathbb{Z}),\mathbb{Z}) \longrightarrow H^2(X;\mathbb{Z}) \longrightarrow Hom(H_2(X;\mathbb{Z}),\mathbb{Z}) \longrightarrow 0.$$
Desde $H_1(X;\mathbb{Z})$ es un grupo abeliano finito, existe un isomorfismo natural $\rho : Hom(H_1(X;\mathbb{Z}),\mathbb{Q}/\mathbb{Z}) \rightarrow Ext(H_1(X;\mathbb{Z}),\mathbb{Z}) $ . Por fin podemos afirmar el hecho para el que busco una referencia :
$$c_1(E_{\phi}) = \rho(\phi).$$
