Sea $G$ sea un grupo abeliano compacto (de dimensión finita, pero no finito) y $A$ ser un $C^*$ -álgebra. Consideremos una acción $\alpha: G\to Aut(A)$ . Por analogía con el caso del grupo abeliano finito, creo que es cierto que $A=\oplus_{\chi\in \hat{G}} A_\chi$ con $A_\chi$ siendo el subespacio formado por los elementos $x\in A$ tal que $\alpha_g(x)=\chi(g)x$ . Además, creo que existe una familia de mapas lineales (indexados por los caracteres del grupo) $E_\chi: A\to A_\chi$ $$ E_\chi(x)=\int_G \overline{\chi(g)}\alpha_g(x) $$ ¿Puede alguien decirme si es cierto y darme referencia de algún libro o artículo? Gracias por la ayuda.
Respuesta
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Los hechos que $A$ es un $C^*$ -y que $G$ es abeliano son irrelevantes: dicha descomposición es válida de forma más general para cualquier espacio de Banach $A$ con una acción lineal continua de un grupo compacto. La referencia que conozco para esto es Representaciones de un grupo compacto en un espacio de Banach de Shiga, disponible aquí . Probablemente existan referencias anteriores para los grupos abelianos, pero las desconozco.
