Representaciones de números enteros mediante una forma cuadrática binaria

Question

Sea $\mathfrak{F}$ sea el conjunto de formas cuadráticas binarias sobre $\mathbb{Z}$ . Sea $f(x, y) = ax^2 + bxy + cy^2 \in \mathfrak{F}$ . Sea $\alpha = \left( \begin{array}{ccc} p & q \\ r & s \end{array} \right)$ sea un elemento de $SL_2(\mathbb{Z})$ . Escribimos $f^\alpha(x, y) = f(px + qy, rx + sy)$ . Desde $(f^\alpha)^\beta$ = $f^{\alpha\beta}$ , $SL_2(\mathbb{Z})$ actúa sobre $\mathfrak{F}$ desde la derecha.

Sea $f, g \in \mathfrak{F}$ . Si $f$ y $g$ pertenecen al mismo $SL_2(\mathbb{Z})$ -órbita, decimos $f$ y $g$ son equivalentes.

Sea $f = ax^2 + bxy + cy^2 \in \mathfrak{F}$ . Decimos $D = b^2 - 4ac$ es el discriminante de $f$ . Sea $m$ sea un número entero. Si $m = ax^2 + bxy + cy^2$ tiene solución en $\mathbb{Z}^2$ decimos $m$ está representado por $ax^2 + bxy + cy^2$ . Si $m = ax^2 + bxy + cy^2$ tiene solución $(s, t)$ tal que gcd $(s, t) = 1$ , decimos $m$ se representa correctamente mediante $ax^2 + bxy + cy^2$ .

¿Es cierta la siguiente proposición? En caso afirmativo, ¿cómo se demuestra?

Propuesta Sea $ax^2 + bxy + cy^2 \in \mathfrak{F}$ . Supongamos que su discriminante no es un cuadrado. Sea $m$ sea un número entero. Entonces $m$ se representa correctamente mediante $ax^2 + bxy + cy^2$ si y sólo si existen números enteros $l, k$ tal que $ax^2 + bxy + cy^2$ y $mx^2 + lxy + ky^2$ son equivalentes.

Answer 1

No puedo entender el comentario de William Jagy, pero creo que esta cuestión es bastante fácil, y emplearé el método que utiliza topografías como en Cañón 's Forma cuadrática sensual .
Pero, una vez que uno sabe lo que es una topografía, y algunas propiedades básicas si ese concepto, esto se convierte en un ejercicio fácil.
Una topografía de una forma cuadrática es como .
Aquí las letras significan los valores representados por una forma $f$ . Y representamos $m$ allí. La condición de que $m$ se representa correctamente implica que la representación debe producirse en el gráfico (véase el librito de Conway). Entonces, tomando $h=m+x-y$ encontraremos que la forma $f$ es equivalente a $\langle m,h,x\rangle$ según sea necesario (véase el libro de nuevo). (Para ver un ejemplo del gráfico, ver la respuesta de Will Jagy. )
A la inversa, si existe tal forma $\langle m,h,x\rangle$ equivalente con $f$ entonces $f$ también debe representar adecuadamente $m$ como la otra forma.
No dude en decirme dónde están los errores, si los hay; gracias de antemano.
P.D. El diagrama anterior está hecho a mano y, de hecho, sigue el modelo de la forma $X^2+4XY+Y^2$ .

Answer 2

Lema 1 Sea $f = ax^2 + bxy + cy^2 \in \mathfrak{F}$ . Sea $\alpha = \left( \begin{array}{ccc} p & q \\ r & s \end{array} \right)$ sea un elemento de $SL_2(\mathbb{Z})$ . Entonces $f^\alpha(x, y) = f(px + qy, rx + sy) = kx^2 + lxy + my^2$ , donde

$k = ap^2 + bpr + cr^2$

$l = 2apq + b(ps + qr) + 2crs$

$m = aq^2 + bqs + cs^2$ .

Prueba: Despejado.

Prueba de la proposición Sea $f(x, y) = ax^2 + bxy + cy^2$ .

Supongamos que $m$ se representa correctamente mediante $f(x, y)$ . Existen números enteros $p, r$ tal que gcd $(p, r) = 1$ y $m = f(p, r)$ . Puesto que gcd $(p, r) = 1$ existen números enteros $s, r$ tal que $ps - rq = 1$ . Por el Lemma 1, $f(px + qy, rx + sy) = mx^2 + lxy + ky^2$ , donde

$m = ap^2 + bpr + cr^2$

$l = 2apq + b(ps + qr) + 2crs$

$k = aq^2 + bqs + cs^2$ .

Por lo tanto, $ax^2 + bxy + cy^2$ y $mx^2 + lxy + ky^2$ son equivalentes.

Por el contrario, supongamos $ax^2 + bxy + cy^2$ y $mx^2 + lxy + ky^2$ son equivalentes. Existe un número entero $p, q, r, s$ tal que $ps - rq = 1$ y $f(px + qy, rx + sy) = mx^2 + lxy + ky^2$ . Dejar $x = 1, y = 0$ obtenemos $f(p, r) = m$ . Desde $ps - rq = 1$ gcd $(p, r) = 1$ . Por lo tanto $m$ se representa correctamente mediante $ax^2 + bxy + cy^2$ .