¿Existe una teoría Cerf discreta?

Question

Hacia finales de la década de 1990, Robin Forman desarrolló una versión discreta de la teoría de Morse, que se refiere a los mapas de un complejo simplicial a $\mathbb{R}$ satisfaciendo un análogo combinatorio a la condición de que los puntos críticos no sean degenerados. La teoría ha resultado muy útil porque ha permitido utilizar argumentos de la teoría de Morse en entornos discretos y forma parte de la topología computacional.
Hace poco me llamó la atención esta técnica tras leer un preprint de Conant, Schneiderman y Teichner . Por lo tanto, es muy posible que esta pregunta sea desesperadamente ingenua (también es posible que sea abierta).

¿Existe una versión discreta de la Teoría Cerf? ¿Existen al menos resultados parciales en esta dirección? A la inversa, ¿se sabe que no puede existir tal teoría?

Mi motivación es que me imagino que una demostración discreta del Teorema de Kirby, entre otros resultados que utilizan la Teoría de Cerf, podría resultar muy valiosa en topología cuántica (¡me encantaría tener un resultado así al alcance de la mano!). Sé que esto no existe (¿todavía?), o seguramente habría oído hablar de ello. Además, una "máquina" topológica sólo puede ser utilizada por un ordenador si sólo requiere información finita.

Answer 1

Me doy cuenta de que llego varios meses tarde a la fiesta de la teoría de Cerf, pero este documento de Chari y Joswig podría ser de interés para el autor de la pregunta y, sin duda, merece una mención en el contexto de esta cuestión. Como mínimo, su construcción proporciona varias vías topológicas interesantes para investigar la relación entre dos funciones de Morse discretas en el mismo complejo.

Empezar con un complejo simplicial $\Delta$ y que $M(\Delta)$ sea el conjunto de todas las posibles funciones discretas de Morse $\mu:\Delta \to \mathbb{R}$ . Obsérvese que dos funciones de este tipo $\mu$ y $\mu'$ se consideran equivalentes si inducen el mismo campo vectorial discreto. Podemos suponer sin pérdida de generalidad que $M(\Delta)$ ha sido cociente por esta relación de equivalencia obvia: $\mu \sim \mu'$ sólo si $\mu(\sigma) > \mu(\tau) \leftrightarrow \mu'(\sigma) > \mu'(\tau)$ para cada relación de faceta $\sigma \prec \tau$ en $\Delta$ . Por lo tanto, podemos suponer que $M(\Delta)$ es simplemente la colección de emparejamientos parciales acíclicos en $\Delta$ .

Resulta que $M(\Delta)$ puede dotarse canónicamente de la estructura de un complejo simplicial. Cada relación de faceta $\sigma \prec \tau$ de $\Delta$ es un vértice, y a $D$ -tramos simplex tridimensionales $D+1$ relaciones de facetas $\sigma_d \prec \tau_d$ si y sólo si el emparejamiento $\sigma_d$ a $\tau_d$ para cada $1 \leq d \leq D+1$ crea una correspondencia acíclica en $\Delta$ .

La razón por la que $M(\Delta)$ es interesante con respecto a su pregunta, es que cada simplex corresponde a un único emparejamiento acíclico en $\Delta$ . Por lo tanto, entre otras cosas que usted puede intentar, acaba de imponer una función Morse $f:M(\Delta) \to \mathbb{R}$ en $M(\Delta)$ para que los dos emparejamientos acíclicos que desea comparar sean celdas críticas. Ahora, cada trayectoria de gradiente entre estas celdas críticas corresponde a una "deformación" de una a otra en el conjunto de coincidencias acíclicas en $\Delta$ .

Answer 2

Se puede hacer la siguiente afirmación sencilla sobre homotopías rectilíneas de funciones de Morse discretas.

Una función Morse discreta $f$ con campo vectorial gradiente $V_f$ se llama plano si $f(\sigma) = f(\tau)$ siempre que $(\sigma,\tau) \in V_f$ . (Para cualquier función de Morse discreta existe una función plana equivalente, es decir, que tiene los mismos complejos de subniveles). Esta definición también se debe a Forman ( Teoría de Witten-Morse para complejos celulares ).

Ahora dejemos que $f$ y $g$ sean dos funciones de Morse planas con campos vectoriales gradientes $V_f$ y $V_g$ respectivamente. Entonces $f_t=(1-t)f+tg$ es una función de Morse plana con campo vectorial gradiente $V=V_f\cap V_g$ para cada $t$ con $0\leq t\leq 1$ . La demostración es sencilla a partir de las definiciones.

Esto significa, intuitivamente, que en el escenario descrito todos los cambios en el conjunto crítico de $f_t$ ocurrir sólo en $t=0$ y $t=1$ . Esto se debe al uso de funciones de Morse planas. Para funciones de Morse discretas generales $f$ y $g$ la función $f_t$ no siempre es una función Morse discreta, y esto puede ocurrir no sólo en valores discretos de $t$ sino en intervalos enteros.