Investigación sobre una prueba de la existencia de un número real $x$ tal que $x^{3} = 5$

Question

Estaba leyendo un hilo sobre MSE aquí: Demuestre que existe un número positivo x tal que $ x^3= 5$

Estoy leyendo la prueba realizada por el cartel original.

Pero, no entiendo una cosa. En la primera desigualdad, está escrito que

$$b^{3} - 3b^{2}\epsilon - 3\epsilon = 5.$$

Pero si se resuelve la ecuación $\epsilon = (b^{3} - 5)/(3b^2 - 3)$ para $5$ vemos que en realidad es

$$b^{3} - 3b^{2}\epsilon + 3\epsilon = 5.$$

Entonces, ¿sigue siendo válida la prueba? Si no, ¿cómo puedo arreglar esa parte? Lo he intentado, pero no lo consigo.

Answer 1

Es una errata en el post original. Si define $\varepsilon=\frac{b^3-5}{3b^2+3}$ equivalentemente $5=b^3-3b^2\varepsilon-3\varepsilon$ es evidente que $b-\varepsilon<b$ y tenemos $$(b-\varepsilon)^3>b^3-3b^2\varepsilon-3\varepsilon=5.$$

Todo se reduce a lo siguiente: la prueba que ha leído está bien, simplemente hay una pequeña errata en la prueba que ya se ha corregido.