Sea $a\ne1$ sea una raíz enésima de identidad, demuestre $1+2a+3a^2+\dots + na^{n-1} = \frac{n}{a-1}$ .

Question

Sea $a\ne1$ sea una raíz enésima de identidad, demuestre $1+2a+3a^2+\dots + na^{n-1} = \frac{n}{a-1}$ .

Tomé $S= 1+2a+3a^2+\dots+na^{n-1}$ .

Tengo una pista que dice que debo calcular $(1-a)S$ y luego usar una serie geométrica. Puedo ver que tenemos una serie geométrica con $a$ pero no entiendo por qué debería computar $(1-a)S$ o cómo se resuelve este problema. O cuál es el sentido de este problema (qué se supone que debo sacar de él).

EDIT: Yo tampoco entiendo por qué me votan negativamente por lo que creo que es una pregunta legítima. No es que esté pidiendo una respuesta a una pregunta de deberes. Simplemente estoy tratando de entender lo que estoy haciendo y tal vez ganar un poco de motivación para estos conceptos.

Por ejemplo, intenté calcular $(1-a)S$ donde $S = \frac{1-a^{n}}{1-a}$ (porque $S$ es una suma geométrica finita), pero si anulo la $(1-a)$ términos que me quedan $n(1-a^{n}) \ne \frac{n}{a-1}$ .

Answer 1

Pista: Parece que has cometido un desliz algebraico al calcular $(1-a)S$ (No te preocupes, nos pasa a todos de vez en cuando). Intenta calcularlo de nuevo y deberías obtener una serie geométrica más un término negativo. Recuerda que $a^n = 1$ e intenta sustituirlo por lo que tienes. Debería caerse con bastante facilidad. Espero que te sirva de ayuda.

Answer 2

De otra manera:

$1+x+x^2+\cdots+x^n=\frac{x^{n+1}-1}{x-1}$ . Tomar derivada $1+2x+\cdots+nx^{n-1}=\frac{(n+1)x^{n}(x-1)-(x^{n+1}-1)}{(x-1)^2}$ . Desde $a$ es $n$ -enésima raíz de la unidad. Obtenemos $\frac{n}{a-1}$ .