Para cada número entero $n\ge1$ encontrar el valor mínimo de $W_n(x)=x^{2n}+2x^{2n-1}+3x^{2n-2}+\dots+2nx$

Question

Sea $$W_n(x)=x^{2n}+2x^{2n-1}+3x^{2n-2}+\dots+2nx$$ Para cada número entero $n\ge1$ encontrar el valor mínimo del polinomio dado.

Mi enfoque fue reescribir $W_n(x)$ como $$W_n(x)=(x^{2n}-1)+(2x^{2n-1}+2)+(3x^{2n-2}-3)+\dots+(2nx+2n)-n$$ Después experimenté un poco y me convencí plenamente de que $(-n)$ es el valor mínimo del polinomio dado, sin embargo no sé cómo demostrar mi afirmación.

¿Cómo debo proceder? Se agradece cualquier ayuda.

Answer 1

Basta con verificar la identidad $$ W_n(x)+n = (x+1)^2 \sum_{k=1}^n kx^{2(n-k)} $$ Para realizar la comprobación, basta con expandir el lado derecho y comparar potencias iguales. . .

Es fácil ver que los términos principales son los mismos, y los términos constantes son los mismos.

A continuación, fije $m$ con $1\le m\le 2n-1$ .

Para el LHS, el coeficiente de $x^m$ es $2n+1-m$ .

Para el RHS, considere dos casos según $m$ es par o impar.

Primero supongamos $m$ es par.

Entonces $m=2(n-k)$ con $1\le k\le n-1$ por lo que el $x^m$ en la expansión del lado derecho es \begin{align*} & x^2\Bigl((k+1)x^{2(n-k)-2}\Bigr)+kx^{2(n-k)} \\[4pt] =\,& (2k+1)x^{2(n-k)} \\[4pt] =\,& (2n+1-m)x^m \end{align*} Siguiente suposición $m$ es impar.

Entonces $m=2(n-k)+1$ con $1\le k\le n$ por lo que el $x^m$ en la expansión del lado derecho es \begin{align*} & (2x)\bigl(kx^{2(n-k)}\bigr) \qquad\qquad\qquad\qquad \\[4pt] =\,& (2k)x^{2(n-k)+1} \\[4pt] =\,& (2n+1-m)x^m \end{align*} Así, en ambos casos, el $x^m$ en la expansión del lado derecho coincide con el término $x^m$ del LHS, por lo que la verificación está completa.