Quiero encontrar la función generadora de momentos (o la transformada de Laplace) de la distribución Dirichlet. Sé que los momentos se pueden encontrar utilizando las funciones gamma de la siguiente manera : $$E\left[\prod_{i=1}^K x_i^{\beta_i}\right]=\frac{B\left(\boldsymbol{\alpha}+\boldsymbol{\beta}\right)}{B\left(\boldsymbol{\alpha}\right)}=\frac{\Gamma\left(\sum_{i=1}^{n}\alpha_{i}\right)}{\Gamma\left(\sum_{i=1}^{n}\alpha_{i}+\beta_{i}\right)}\times\prod_{i=1}^{n}\frac{\Gamma\left(\alpha_{i}+\beta_{i}\right)}{\Gamma\left(\alpha_{i}\right)},$$ pero lo que realmente me interesa es la forma funcional de la MGF (o la transformada de Laplace) para que pueda ser utilizada para encontrar otras distribuciones muestrales de la misma o cualquier otra transformación de la Dirichlet también.
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Roger Hoover
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Se puede calcular de la siguiente manera: dejemos que $E_n$ sea el conjunto: $$E_n = \left\{(x_1,\ldots,x_n): x_i\geq 0, \sum_{i=1}^{n}x_i=1\right\}\subset\mathbb{R}^n.$$ Entonces: $$ \int_{E_n} x_1^{\alpha_1-1}\cdot\ldots\cdot x_{n}^{\alpha_n-1}\,d\mu = \frac{\prod_{i=1}^{n}\Gamma(\alpha_i)}{\Gamma(\alpha_1+\ldots+\alpha_n)}$$ para cualquier elección del $\alpha_i$ tal que $\text{Re}(\alpha_i)>0$ .
Puede encontrar el MGF del Dirichlet consultando las páginas 15 y 16, aquí:
https://mast.queensu.ca/~communications/Papers/msc-jiayu-lin.pdf
Este trabajo no es mío. Es simplemente una referencia que encontré en Internet.
Original, ahora muerto: http://www.mast.queensu.ca/~web/Papers/msc-jiayu-lin.pdf
