Tiene razón: se trata de un ejercicio de análisis de unidades ( también conocido como "cálculo de cantidades").
Sigamos con la analogía de la temperatura. Supongamos, sin pérdida de generalidad, que $Y$ se mide en grados centígrados ("C") y $X$ es un tiempo medido en segundos ("seg"). Calculemos las unidades de las cantidades que intervienen en un modelo de regresión de la forma
$$Y = \alpha + \beta X + \varepsilon$$
donde $\operatorname{Var}(\varepsilon)=\sigma^2.$
Porque $Y$ es una temperatura, también lo es el lado derecho. Hagámoslo explícito mostrando las unidades de medida de cada cantidad entre llaves posfijas. Empecemos por lo que sabemos, dejando por ahora las incógnitas como signos de interrogación:
$$Y\,[\text{C}] = \alpha\,[\text{?}] + \beta\,[\text{?}] X\,[\text{sec}] + \varepsilon \,[\text{?}]$$
Para que las adiciones tengan sentido, las unidades de $\alpha,$ $\beta X,$ y $\varepsilon$ también debe ser C. En consecuencia, las unidades de $\beta$ debe ser C/seg para que las unidades álgebra funcionen:
$$Y\,[\text{C}] = \alpha\,[\text{C}] + \beta\,\left[\frac{\text{C}}{\text{sec}}\right] X\,[\text{sec}] + \varepsilon \,[\text{C}].\tag{1}$$
Por último, dado que una varianza es una expectativa de una cuadrado, las unidades de $\sigma^2$ debe ser $\text{C}^2.$
Esto nos dice todo lo que necesitamos saber sobre cómo cambian los coeficientes cuando cambian las unidades de medida.
Si, por ejemplo, se cambia la temperatura de grados C a grados F, esto se efectúa multiplicando la temperatura por $9/5$ seguido de la adición de $32.$ Debe realizarse la misma operación en cada múltiplo de $[\text{C}]$ en la ecuación $(1).$ En consecuencia,
$$\eqalign{ Y\,[\text{F}] &= \frac{9\,[\text{F}]}{5\,[\text{C}]}Y\,[\text{C}] + 32\,[\text{F}] \\ &= \frac{9\,[\text{F}]}{5\,[\text{C}]}\left(\alpha\,[\text{C}] + \beta\,\left[\frac{\text{C}}{\text{sec}}\right] X\,[\text{sec}] + \varepsilon \,[\text{C}]\right) + 32\,[\text{F}] \\ &= \left(\frac{9}{5}\alpha + 32\right)\,[\text{F}] + \left(\frac{9}{5}\right)\beta\,\left[\frac{\text{F}}{\text{sec}}\right] X\,[\text{sec}] + \left(\frac{9}{5}\right)\varepsilon \,[\text{F}]. }\tag{2}$$
A partir de esta expresión podemos leer los nuevos coeficientes:
-
$\alpha$ se convierte en $9\alpha/5 + 32.$
-
$\beta$ se convierte en $9\beta/5.$
-
$\varepsilon$ se convierte en $9\varepsilon/5,$ lo que implica su varianza $\sigma^2$ se convierte en $(9/5)^2\sigma^2.$
Del mismo modo, dado que los residuos (como diferencias de temperaturas) siguen siendo temperaturas, se escalarán por $9/5$ (¡es un cambio apreciable!) y, por tanto, la suma de sus cuadrados se escalará en $(9/5)^2.$ Puede averiguar con la misma facilidad cómo cambia cualquier otra estadística examinando su fórmula y aplicando el cálculo de unidades.
En general si queremos escribir la ecuación de regresión $(1)$ en términos de $Y^\prime = aY+c$ y $X^\prime=bX + d,$ entonces resolvemos $X = (X^\prime - d)/b,$ conéctalo a $(1),$ y simplificar:
$$\eqalign{ Y^\prime &= aY + c = a\left(\alpha + \beta X + \varepsilon\right) + c \\ &= a\left(\alpha + \beta \left(X^\prime-d\right)/b + \varepsilon\right) + c \\ &= \left(a\alpha + c - \frac{\beta d}{b}\right) + \frac{a\beta}{b}X^\prime + a\varepsilon \\ &= \alpha^\prime + \beta^\prime X^\prime + \varepsilon^\prime }$$
donde, comparando coeficientes,
-
$\alpha^\prime = a\alpha + c -\beta d/b,$
-
$\beta^\prime = a\beta/b,$ y
-
$(\sigma^\prime)^2 = \operatorname{Var}(\epsilon^\prime) = a^2\sigma^2.$
(Obviamente $b\ne 0$ es necesario, pero--como puede comprobar--esto sigue siendo correcto cuando $a=0.$ )
Con esta información puedes calcular cómo cualquier combinación algebraica de las cantidades $X,Y,\alpha,\beta,\varepsilon,\sigma$ pueden reescribirse en términos de sus nuevos homólogos (preparados).
Referencia
Paul Yates, "Cálculo de cantidades". Royal Society of Chemistry, 31 de diciembre de 2006. https://edu.rsc.org/maths/quantity-calculus/2020326.article
