Prueba $4^n>n^2$

Question

Necesito ayuda para resolver esta tarea, si alguien ha tenido un problema similar me ayudaría.

Demostración por inducción matemática:

$4^n>n^2$

Probé esto:

$1.n=1\\4>1\\2.n=k\\4^k>k^2\\3.n=k+1\\4^{k+1}>(k+1)^2\\3k^2>2k+1$

Y ahora, no sé qué hacer a continuación.

Gracias de antemano.

Answer 1

Si $n=1$ es evidente que $4^n>n^2$ .

Ahora, toma $n\in\Bbb N$ y supongamos que $4^n>n^2$ . Entonces \begin{align}4^{n+1}&=4\times4^n\\&>4n^2\\&\geqslant(n+1)^2,\end{align} desde $$\frac{n+1}n\leqslant2\implies\frac{(n+1)^2}{n^2}\leqslant4.$$

Answer 2

Tenemos

$$4^{k+1}=4 \cdot 4^k \stackrel{\text{Ind. Hyp.}}\ge 4 \cdot k^2\stackrel{?}\ge k^2+2k +1=(k+1)^2$$

y la desigualdad se cumple

$$4 \cdot k^2\ge k^2+2k +1 \iff 3k^2-2k-1=(k-1)(3k+1)\ge 0$$

que es equivalente a su última desigualdad y verdadera como $k\ge 1$ .