¿Qué tiene de especial la base ortonormal? $\{e_n\}$ de $L^2[0,1]$ donde $e_n(x)=e^{2\pi i nx }$ ?

Question

Sea $f \in L^2([0,1])$ . Entonces Teorema de Carleson establece que

$$\lim_{N\to \infty} \sum_{|n|<N} \langle f,e_n\rangle e_n(x)=f(x),\quad\text{a.e. } x\in[0,1],$$ donde $\{e_n\}$ es la base ortonormal de $L^2([0,1])$ definido por $e_n(x)=e^{2\pi in x}$ y $\langle\,\cdot\,,\,\cdot\,\rangle$ es el producto interior habitual de $L^2[0,1]$ definido como $$\langle f,g\rangle:=\int_0^1 f(x)\overline {g(x)} dx.$$

Ahora mi pregunta es: ¿qué hace que la base ortonormal particular $\{e^{2\pi i nx}\}$ ¿tan especial?

Para qué base ortonormal $\{w_n\}$ de $L^2[0,1]$ ¿podemos decir que para cada $f \in L^2[0,1]$ que $$\lim_{N\to \infty} \sum_{|n|<N} \langle f,w_n\rangle w_n(x)=f(x),\quad\text{a.e. } x\in[0,1]?$$

¿Y si hacemos la misma pregunta con $L^2$ sustituido en todas partes por $C[0,1]$ ?

Answer 1

Sí, hay otros sistemas que tienen la propiedad de convergencia de Carleson. En particular, Billard demostró en 1967 el caso Walsh Paley del teorema de Carleson. A menudo, los resultados del teorema de Carleson se formulan en la recta real porque uno puede dilatarse allí. En este caso, para algunas series de paquetes de ondículas $\{b_{n}\}$ es posible obtener límites para el operador de Carleson $$Lf(x)=\sup\limits_{N\geq 0} \sum\limits_{n=0}^{N-1} \langle f, b_{n} \rangle b_{n}$$ demostrando así la convergencia a.e. de las expansiones. Wickerhauser's explica cómo el soporte y el tamaño de los paquetes de ondículas influyen en la obtención de esos límites.