Cómo simplificar $\delta(\cos x\cos y-k)\delta(\cos x\sin y)$ ?

Question

Mi pregunta es

Cómo simplificar $$f(x,y)=\delta(\cos x\cos y-k)\delta(\cos x\sin y)$$ ( $0<k<1$ ) en términos de peines de Dirac?

Antecedentes: Estaba trabajando en un problema de física, en el que utilicé $$g(\theta,\phi)=\lambda\cdot\delta(r\cos \theta\cos \phi-a)\delta(r\cos \theta\sin \phi)$$ (en coordenadas esféricas, $\lambda$ siendo la densidad de carga lineal) para representar una línea de carga en $x=a,y=0$ en coordenadas cartesianas 3D.

Por algunas razones matemáticas, necesito encontrar su transformada de Fourier, es decir $$\int^\infty_{-\infty}\int^\infty_{-\infty}d\theta d\phi \cdot e^{-ik_1\theta-ik_2\phi}\cdot g(\theta,\phi)$$

Intenté resolverlo por fuerza bruta, y obtuve $$\frac{4\lambda C(k_1)C(k_2)}{a\sqrt{r^2-a^2}}\cos\left(k_1\cos^{-1}\frac ar\right)$$ donde $C(\cdot)$ es el $1$ -periódica Dirac comb.

Sin embargo, cuando he comprobado su corrección realizándole una transformada inversa de Fourier, no se recupera la expresión original.

Por lo tanto, en primer lugar me gustaría simplificar $g$ para reducir la posibilidad de cometer errores en el segundo intento. Mi ansatz es algo proporcional a $$C\left(\frac{\theta+\cos^{-1}\frac ar}{\pi}\right)C\left(\frac\phi\pi\right)$$ pero no puedo proceder debido a mi falta de comprensión en la teoría de la distribución.

Gracias de antemano por cualquier ayuda.

Answer 1

Mi resultado es que la expresión simplemente se vuelve cero.

En primer lugar está esta fórmula para la composición de $\delta$ con alguna función suave $f$ : $$ \delta(f(x,y)) = \sum_{(x_0,y_0)\in f^{-1}(0)} \frac{1}{|\nabla f(x_0,y_0)|}\delta(x-x_0,y-y_0). $$ Aquí $f^{-1}(0)$ es el conjunto de ceros de $f$ .

Aplicando esto al segundo factor se obtiene $$ \delta(\cos x\sin y) = \sum_{(x_0,y_0) \text{ s.t. } \cos x_0 \sin y_0=0} \frac{1}{\sqrt{\sin^2 x_0 + \cos^2 y_0}} \delta(x-x_0,y-_0) \\ = \sum_{m\in\mathbb Z}\sum_{n\in\mathbb Z} \frac{1}{\sqrt{\sin^2 (\frac{\pi}{2}+m\pi) + \cos^2 (n\pi)}} \delta(x-(\frac{\pi}{2}+m\pi),y-n\pi) \\ = \sum_{m\in\mathbb Z}\sum_{n\in\mathbb Z} \frac{1}{\sqrt{2}} \delta(x-(\frac{\pi}{2}+m\pi),y-n\pi) . $$

Ahora incluimos el primer factor y simplificamos: $$ \delta(\cos x\cos y-k)\delta(\cos x\sin y) = \delta(\cos x\cos y-k) \sum_{m\in\mathbb Z}\sum_{n\in\mathbb Z} \frac{1}{\sqrt{2}} \delta(x-(\frac{\pi}{2}+m\pi),y-n\pi) \\ = \frac{1}{\sqrt{2}} \sum_{m\in\mathbb Z}\sum_{n\in\mathbb Z} \delta(\cos x\cos y-k) \delta(x-(\frac{\pi}{2}+m\pi),y-n\pi) \\ = \frac{1}{\sqrt{2}} \sum_{m\in\mathbb Z}\sum_{n\in\mathbb Z} \delta(\cos (\frac{\pi}{2}+m\pi)\cos n\pi-k) \delta(x-(\frac{\pi}{2}+m\pi),y-n\pi) \\ = \frac{1}{\sqrt{2}} \sum_{m\in\mathbb Z}\sum_{n\in\mathbb Z} \delta(-k) \delta(x-(\frac{\pi}{2}+m\pi),y-n\pi) \\ = \frac{1}{\sqrt{2}} \delta(k) \sum_{m\in\mathbb Z}\sum_{n\in\mathbb Z} \delta(x-(\frac{\pi}{2}+m\pi),y-n\pi) . $$

Pero ya que tienes $k \neq 0$ el factor $\delta(k)$ sólo será $0$ por lo que nuestro resultado final también será $0$ .