Cuándo es la categoría de Gorenstein proyectiva $R$ -¿Módulos Frobenius?

Question

Sea $R$ sea un anillo (asociativo con la unidad, pero no necesariamente conmutativo, y definitivamente no necesariamente noetheriano). Entonces la categoría $\operatorname{GP}(R)$ consiste en $R$ -que tengan una resolución proyectiva completa, es decir, que sean expresables como la imagen del mapa $P_{-1}\to P_0$ en alguna secuencia

$$\cdots\to P_{-2}\to P_{-1}\to P_0\to P_1\to P_2\to\cdots$$

de proyectiva $R$ -tal que esta secuencia sigue siendo exacta bajo $\operatorname{Hom}_R(-,P)$ para cualquier proyectivo $P$ . (Para mayor énfasis: No hago ninguna suposición de generación finita en $M$ o en el $P_i$ .)

Mis preguntas son entonces las siguientes:

• Es $\operatorname{GP}(R)$ una categoría de Frobenius?

Dependiendo de la respuesta, hay preguntas de seguimiento naturales:

• En caso afirmativo, ¿hay alguna buena referencia al respecto, idealmente con un argumento completo?

• Si no es así, ¿podemos recuperar esta propiedad suponiendo un poco más sobre $R$ ? Como objetivo, me gustaría tratar el caso de que $R$ es un álgebra preproyectiva completa de un carcaj finito arbitrario (que no es típicamente noetheriano).

Henrik Holm tiene un artículo muy bueno titulado 'Gorenstein homological dimensions', que demuestra muchas cosas sobre $\operatorname{GP}(R)$ para un anillo general $R$ pero no aborda directamente esta cuestión. Demuestra que esta categoría es resolutiva, lo que ayuda un poco (en particular, es cerrada bajo extensiones y por tanto hereda una estructura exacta de $\operatorname{Mod}{R}$ ). Suponiendo que no haya cometido ningún error, creo que los hechos que $\operatorname{GP}(R)$ contiene todos los proyectivos $R$ -que también son inyectivos en $\operatorname{GP}(R)$ y que todo Gorenstein proyectivo admite tanto un epimorfismo desde como un monomorfismo hacia dicho módulo, todo ello queda bastante claro en la definición. Así que lo único que podría ir mal (¡creo!) es que podría haber más proyectivos/injetivos que no concuerdan entre sí.

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Hay algún contexto adicional que podría dar una idea del tipo de fuentes que más me gustaría recibir (aunque, por supuesto, ¡se agradece cualquier respuesta!). Soy consciente de que muchos autores consideran que $R$ es Iwanaga-Gorenstein, lo que significa que $R$ es noetheriano y de dimensión finita inyectiva como módulo en cada lado, y luego considerar la categoría de Frobenius

$$\operatorname{GP}'(R):=\{X\in\operatorname{mod}{R}:\operatorname{Ext}_R^i(M,R)=0\ \forall\ i>0\}.$$

Estoy interesado en ciertos anillos (probablemente) noetherianos $R$ pero que aún tienen dimensión inyectiva finita como módulo en cada lado, y en ciertas (posiblemente no finitamente generadas) $R$ -módulos $M$ tal que $\operatorname{Ext}^i_R(M,P)=0$ para cualquier proyectivo $P$ y cualquier $i>0$ . Mi impresión es que debería existir alguna categoría de Frobenius razonable de módulos "Gorenstein proyectivos" asociados a $R$ y que contiene $M$ centrándose en las condiciones homológicas y olvidándose de cualquier finitud (incluso algo como $\operatorname{GP}'(R)$ tal como se ha definido anteriormente, pero con $\operatorname{mod}{R}$ sustituido por $\operatorname{Mod}{R}$ y $R$ sustituido por un proyectivo arbitrario en la condición - una de las cosas que Holm demuestra es que esta categoría es entonces muy cercana a $\operatorname{GP}(R)$ como se define en la parte superior de la pregunta, pero también podría incluir algunos módulos sin resolución finita por proyectivos Gorenstein). Sin embargo, no estoy muy familiarizado con lo que puede salir mal cuando se eliminan las condiciones de finitud, y me preocupa que pueda perder la propiedad de Frobenius en alguna parte.

Si sirve de ayuda, puede que al final quiera que mi categoría sea Krull-Schmidt (en el sentido fuerte de que las indecomponibles se caracterizan por tener anillos de endomorfismos locales), lo que significa que tendré que exigir que $R$ es semi-perfecto. Esto da un poco más de control sobre $\operatorname{Proj}{R}$ ya que significa que hay un número finito de proyectivos indecomponibles tales que todo proyectivo es una suma directa (posiblemente infinita) de éstos.

Answer 1

Siempre es una categoría de Frobenius y sus objetos proyectivos-inyectivos son los módulos proyectivos. Tu análisis es esencialmente correcto. De hecho, esto es válido en general. Yo resolví lo siguiente cuando leí un poco en Enochs-Yenda, pero supongo que es bien conocido:

Dada una categoría exacta $(\mathcal{A}, \mathcal{E})$ , dejemos que $\mathcal{P}$ sea la subcategoría completa de sus objetos proyectivos. Se puede inducir una nueva estructura exacta $\mathcal{E}_{\mathcal{P}}$ en $\mathcal{A}$ que consiste en $\mathcal{E}$ -secuencias exactas $0 \to A' \to A \to A'' \to 0$ tal que

$$0 \to \hom(A'', P) \to \hom(A, P) \to \hom(A', P) \to 0$$

es exacta para todo $P \in \mathcal{P}$ .

Tenga en cuenta que los objetos de $\mathcal{P}$ son proyectivas e inyectivas con respecto a la estructura exacta $\mathcal{E}_{\mathcal{P}}$ (puede haber más $\mathcal{E_P}$ -proyectivas e injectivas, por supuesto).

Defina $\mathcal{G_P}$ es la categoría de objetos proyectivos de Gorenstein con respecto a $\mathcal{E}_{\mathcal{P}}$ Estos son los objetos $G$ que aparece como la imagen de un diferencial de un bi-infinito $\mathcal{E}_{\mathcal{P}}$ -complejo acíclico con componentes de $\mathcal{P}$ .

Tenemos $\mathcal{P} \subseteq \mathcal{G_P}$ porque podemos tomar $\cdots \to 0 \to P \xrightarrow{\rm id} P \to 0 \to \cdots$ .

El hecho clave es:

En $\mathcal{E}$ -épica admisible $p\colon A \to G$ con $G \in \mathcal{G_P}$ es necesariamente $\mathcal{E_P}$ -admisible.

Desde $G \in \mathcal{G_P}$ hay un $\mathcal{E_P}$ -épica admisible $q\colon P \to G$ con $P \in \mathcal{P}$ . Desde $P$ es proyectivo, existe $f \colon P \to A$ tal que $q = pf$ . Desde $p$ tiene un núcleo, el "axioma oscuro" de Quillen sobre categorías exactas implica que $p$ es un $\mathcal{E_P}$ -épica admisible. También puede jugar con secuencias exactas largas y $\operatorname{Ext}^i(G,P)$ para ver esto.

De esto y del lema de la herradura se deduce que $\mathcal{G_P}$ es cerrado bajo extensiones en $(\mathcal{A}, \mathcal{E})$ . Por lo tanto $\mathcal{G_P}$ también es cerrado bajo extensiones en $(\mathcal{A}, \mathcal{E_P})$ .

Proposición. Las dos estructuras exactas sobre $\mathcal{G_P}$ i $\mathcal{E}$ y por $\mathcal{E_P}$ coinciden. Con respecto a esta estructura exacta $\mathcal{G_P}$ es una categoría de Frobenius cuya objetos proyectivo-inyectivos son precisamente los objetos de $\mathcal{P}$ .

Que las dos estructuras exactas inducidas coinciden en $\mathcal{G_P}$ se desprende de nuevo de la observación clave.

Dado que los objetos de $\mathcal{P}$ son proyectivas e inyectivas en $(\mathcal{A}, \mathcal{E_P})$ también son proyectivas e inyectivas en $\mathcal{G_P}$ .

Si $G$ es proyectiva o inyectiva en $\mathcal{G_P}$ es una retracción de un objeto de $\mathcal{P}$ por lo que pertenece a $\mathcal{P}$ . Para verlo, supongamos $G$ es proyectivo en $\mathcal{G_P}$ . Entonces hay un $\mathcal{E_P}$ -épica admisible $P_{-1} \to G$ que se divide ya que $G$ es proyectivo. Así que $G$ es un repliegue de $P_{-1}$ . De ello se deduce que $G$ es proyectiva e inyectiva en $\mathcal{G_P}$ y también proyectiva en $(\mathcal{A},\mathcal{E})$ . Del mismo modo, si $G$ es inyectiva, es un repliegue de $P_0$ por tanto proyectivo e inyectivo en $\mathcal{G_P}$ y también proyectiva en $(\mathcal{A}, \mathcal{E})$ .

Que hay suficientes projetivos e injetivos en $\mathcal{G_P}$ se cumple por definición.