La extensión radical más sencilla con una subextensión no radical

Question

Esto está relacionado con " Una extensión radical con una subextensión no radical ".

El problema es que no puedo entender por qué $L=\mathbb{Q}(\zeta_7+\zeta_7^{-1})$ no es una extensión radical dada en la solución antes mencionada.

¿Puede alguien explicarlo o, mejor aún, dar un ejemplo más sencillo de una extensión radical con una subextensión no radical?

Tengo curiosidad por saber si aquí "7" tiene algo de especial. Es decir $\mathbb{Q}(\zeta_3)$ y $\mathbb{Q}(\zeta_3+\zeta_3^{-1})$ funcionan como contraejemplos.

Muchas gracias.

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Lo que probé:

Puedo ver que $\mathbb{Q}(\zeta_7)$ es una extensión radical ya que $\zeta_7^7=1\in\mathbb{Q}$ .

Utilizando la misma lógica, entonces $L=\mathbb{Q}(\zeta_7+\zeta_7^{-1})$ no es una extensión radical ya que $(\zeta_7+\zeta_7^{-1})^n\notin\mathbb{Q}$ para cualquier potencia $n$ ? Parece posible demostrarlo mediante el teorema del binomio. ¿Es esa la lógica correcta?

Gracias.

Answer 1

Esa lógica no es correcta.

Por ejemplo $\Bbb{Q}(1+\sqrt2)$ es una extensión radical porque es igual a $\Bbb{Q}(\sqrt2)$ . Todavía, $(1+\sqrt2)^n\notin\Bbb{Q}$ para cualquier $n>0$ .

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Con $K=\Bbb{Q}(\zeta_7+\zeta_7^{-1})$ puedes argumentar lo siguiente. $[K:\Bbb{Q}]=3$ es primo, por lo que no hay campos intermedios no triviales. También, $K=\Bbb{Q}(z)$ para cualquier $z\in K\setminus\Bbb{Q}$ . Supongamos que aquí $z^n=q\in\Bbb{Q}$ para algún número entero $n$ . Sabemos que

1. $K/\Bbb{Q}$ es Galois.
2. Los conjugados de Galois, $z_2$ y $z_3$ de $z=z_1$ son de la forma $z_j=z\zeta_n^{k_j}, j=2,3,$ donde $\zeta_n=e^{2\pi i/n}$ y $k_2,k_3$ son algunos números enteros en el rango $0<k_2<k_3<n$ . Esto se debe a que esos conjugados deben ser también ceros de $x^n-q$ .
3. Pero las cifras $z_j/z_1=\zeta_n^{k_j}\in K, j=2,3.$ Porque $K\subset \Bbb{R}$ debemos tener $\zeta_n^{k_j}=\pm1$ porque no hay otras raíces reales de unidad.
4. Esto implica que $z_2,z_3=\pm z_1$ contradiciendo el hecho de que los conjugados deben ser todos distintos.

Answer 2

Mejorando la respuesta de Jyrki Lahtonen, uno podría simplemente observar que los únicos campos numéricos totalmente reales que son generados por radicales sobre $ \mathbf Q $ están generados por raíces cuadradas de racionales. La razón de esto es que todas las raíces superiores de los racionales tienen conjugados que no son reales, por lo que una incrustación en $ \mathbf C $ puede definirse ampliando.

Más concretamente $ K $ sea un campo numérico totalmente real y sea $ q^{1/n} \in K $ con $ q \in \mathbf Q $ . $ q^{1/n} $ es una raíz de $ X^n - q $ por lo que sus otros conjugados son de la forma $ \zeta_n^k q^{1/n} $ . Defina $ \mathbf Q(q^{1/n}) \to \mathbf C $ enviando $ q^{1/n} \to \zeta_n^k q^{1/n} $ para un conjugado, y utilizar la extensión de isomorfismo para extender esto a una incrustación $ K \to \mathbf C $ . Su imagen debe ser real, por lo tanto $ q^{1/n} $ y $ \zeta^k_n q^{1/n} $ son ambos reales. De esto se deduce que $ \zeta^k_n = \pm 1 $ y tomando las normas se obtiene que $ q^{2/n} $ es racional.

Ahora bien, podemos observar que $ \mathbf Q(\zeta_7 + \zeta_7^{-1}) $ es un campo totalmente real (basta con ver cómo $ \textrm{Gal}(\mathbf Q(\zeta_7)/\mathbf Q) $ actúa sobre ella), sin embargo su grado no es un poder de $ 2 $ . Por lo tanto, no puede ser generado por radicales sobre $ \mathbf Q $ .