Consideremos un semiespacio $T(x):= \sum_{i \in [n]} w_i x_i \geq b$ donde $w_i \in \mathbb{Q}$ son pesos fijos, $b \geq 0$ y $x_i \in \{-1,1\}^n$ Son variables. Definen el sesgo de una coordenada $x_i$ como $bias(x_i,T) = \Pr_{\alpha \sim T^{-1}(1)}[\alpha_i = sign(w_i)]-1/2$ Donde la probabilidad es sobre una muestra uniforme $\alpha \in \{-1,1\}^n$ Tal que así $T(\alpha) =1$ . Es decir, $$bias(x_i,T) = \frac{|\{x \in \{-1,1\}^{n-1}:\sum_{j \neq i, j \in [n]}w_jx_j\geq b-|w_i|\}|}{|\{x \in \{-1,1\}^{n} : \sum_{j=1}^n w_jx_j \geq b\}|} - \frac{1}{2}$$ Tenga en cuenta que $bias(x_i) \geq 0$ . Defina $T \restriction_{x_1 \leftarrow sign(w_1)}(x) := \sum_{i =2}^n w_ix_i \geq b-|w_i|$ .
Me pregunto si $bias(x_i,T) \geq bias(x_i, T \restriction_{x_1 \leftarrow sign(w_1)})$ para todos $i \in [n]$ , $i \neq 1$ . Intuitivamente, esto parece correcto. Sin embargo, no puedo demostrarlo.
