Demostrar que si $\inf\{b_n\} = 0$ entonces $\inf\{a_n\} = 0$

Question

Supongamos que $\forall n\in \mathbb N\exists a_n, b_n\in\mathbb R$ s.t. $0 < a_n < b_n$ .

Demostrar que

Si inf $\{b_n\} = 0\quad \Rightarrow\quad $ inf $\{a_n\} = 0$

Así que tenemos que probar dos partes.

i) $0 \leq a_n\;\forall a_n\in \mathbb{R}$

ii) Si $b \leq a_n\forall a_n\in \mathbb{R}$ entonces $0 \leq b$

Mi intento:

i) Sabemos por hipótesis que $0 < a_n \forall a_n\in\mathbb{R}$

ii) Si $b \leq a_n \forall a_n\in \mathbb{R}$

entonces $0 < b \leq a_n < b_n$

entonces $0 < b \leq$ Inf $\{a_n\} < $ Inf $\{b_n\} = 0 $

entonces $0 \leq b$

No sé si es correcto.

Answer 1

La parte (i) tiene buena pinta. Para la parte (ii), tu idea general es correcta, pero tienes un pequeño error en la definición de lo que tienes que demostrar:

ii) Si $b \leq a_n\forall a_n\in \mathbb{R}$ entonces $0 \leq b$

En realidad debería demostrar que si $b \le a_n$ para todos $a_n \in \mathbb{R}$ entonces $b \le 0$ . (Así que $b$ podría ser negativo). Recuerda que mínimo = "mayor límite inferior". Así que usted quiere demostrar que para cualquier límite inferior $b$ de $a_n$ ese límite inferior es menor o igual que $0$ .

Entonces en tu razonamiento, no puedes asumir $0 < b$ . Parece que usted lo ha asumido aquí:

Si $b \leq a_n \forall a_n\in \mathbb{R}$

entonces $0 < b \leq a_n < b_n$

Pero si se sustituye por $b \le a_n < b_n$ (basta con eliminar " $0 < $ "), y aplique la misma idea, debería obtener la conclusión deseada.