He pensado en esto y lo he discutido con otra persona. Gran parte de lo que sigue no es aportación mía (en particular, no había pensado en invocar el teorema de Amer).
En efecto, basta con demostrar que toda intersección completa de dos cuádricas que contenga una curva de grado impar debe contener una recta (de ahí que la respuesta a tu segunda pregunta sea afirmativa).
Por un teorema de Amer, una intersección de cuádricas $f = g = 0$ contiene un espacio lineal de dimensión $r$ en $k$ si la cuádrica dada por $f + tg = 0$ contiene un espacio lineal de dimensión $r$ en $k(t)$ . Por tanto, basta con demostrar que cualquier cuádrica que contenga una curva de grado impar contiene en realidad una recta.
Para ello, obsérvese que dicha cuádrica debe tener un punto racional: si se corta por un hiperplano genérico, se obtendrá un conjunto finito de puntos, al menos uno de los cuales tiene grado impar. Pero el teorema de Springer dice que si una cuádrica contiene un punto en una extensión de grado impar del campo base, entonces debe tener un punto racional. Así que la cuádrica es isótropa y podemos separar un plano hiperbólico. Con el "resto" de la cuádrica se puede repetir el argumento, aunque probablemente haya que tener cuidado con los problemas de configuración - tendría que escribir esta parte con más cuidado. Así obtendremos dos planos hiperbólicos, y por tanto una recta.
