Demostrar por inducción que $4$ divide $n^3+(n+1)^3+(n+2)^3+(n+3)^3$

Question

Sólo busco a alguien que revise mi trabajo y me dé su opinión, ¡gracias!

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Caso base: $n=0$

$0+1+8+27 = 36$

$4$ divide $36.$

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Paso inductivo: Supongamos $4$ divide $k^3+(k+1)^3+(k+2)^3+(k+3)^3$ para algún número donde $k$ es un número natural que incluye el cero. Así que $k^3+(k+1)^3+(k+2)^3+(k+3)^3 = 4b$ donde $b$ es un número entero. Tenemos que demostrar $4$ divide $(k+1)^3+(k+2)^3+(k+3)^3+(k+4)^3$ . \begin{align} (k+1)^3 & +(k+2)^3+(k+3)^3+(k+4)^3\\ &= 4k^3+30k^2+90k+100\\ &=(k^3+(k+1)^3+(k+2)^3+(k+3)^3)+12k^2+48k+36\\ &=4b+12k^2+48k+36 \qquad \text{(by inductive hypothesis)}\\ &=4(b+3k^2+12k+9) \end{align}

Desde $b$ es un elemento de cualquier número entero, esto es válido para $(k+1)$ . Por lo tanto probado.

Answer 1

Tu respuesta parece correcta y parece un camino corto, yo usaría módulos para evitar el álgebra pero no sería inducción. Para $K \equiv 0 \pmod 4$ los módulos de $4$ para los elementos de la ecuación sería $0^3 + 1^3 + 2^3 + (-1)^3 \equiv 0 + 1 + 0 + (-1) = 0 \pmod 4$ . Y porque siempre hay $4$ elementos consecutivos, los cuatro valores del módulo van a ser los mismos para cualquier $K$ .

Answer 2

Pasar de $n$ a $n+1$ , se resta $n^3$ y añada $(n+4)^3$ . Esto significa que la suma cambia en $(n+4)^3 - n^3$ , así que si esto es divisible por 4, la divisibilidad por 4 permanece.

Pero $(n+4)^3 - n^3 =(n^3+12n^2+48n+64)-n^3 =12n^2+48n+64 =4(3n^2+12n+16) $ es divisible por 4.

Dado que la primera suma (para n=0) es $0^3+1^3+2^3+3^3 =1+8+27 =36 $ es divisible por 4, todos son divisibles por 4.