Desigualdad cuadrática donde $x\in\mathbb{R}$

Question

Si $x$ pertenece al conjunto de los números reales, demuestre que $\dfrac x{x^2 - 5x +9}$ siempre se encuentra en el intervalo $[\dfrac{-1}{11}, 1]$ ?

He intentado resolver el problema utilizando el método de la curva ondulada, es decir, trazando las raíces de la ecuación. Vemos que el denominador tiene un discriminante menor que cero y por lo tanto puede ser tratado como un número real positivo. Cuando tratamos el denominador como un número positivo y lo igualamos a 0, obtenemos x=0. ¿No sé qué error estoy cometiendo en mi planteamiento de la pregunta?

El método de la curva ondulada : https://i.stack.imgur.com/C2chw.jpg

Answer 1

No veo ningún error en tu solución. Creo que su solución es correcta:

Sea $$\frac{x}{x^2-5x+9}=y.$$ Por lo tanto, la ecuación $$yx^2-(5y+1)x+9y=0$$ tiene raíces reales.

Para $y=0$ obtenemos $x=0$ .

Pero, para $y\neq0$ necesitamos $$(5y+1)^2-36y^2\geq0,$$ que da $$-\frac{1}{11}\leq y\leq1.$$

Además, podemos utilizar la siguiente idea.

Para $x>0$ por AM-GM obtenemos: $$\frac{x}{x^2-5x+9}=\frac{1}{x+\frac{9}{x}-5}\leq\frac{1}{2\sqrt{x\cdot\frac{9}{x}}-5}=1.$$ Para $x<0$ por AM-GM obtenemos de nuevo $$\frac{x}{x^2-5x+9}=\frac{1}{x+\frac{9}{x}-5}\geq\frac{1}{-2\sqrt{(-x)\left(-\frac{9}{x}\right)}-5}=-\frac{1}{11}.$$ Para $x=0$ obtenemos un valor $0$ y puesto que $f(x)=\frac{x}{x^2-5x+9}$ es una función continua, hemos terminado.

Answer 2

Observa que el método de los intervalos (método de la curva ondulada) se utiliza para resolver una desigualdad. La solución de la desigualdad es efectivamente: $$\dfrac x{x^2 - 5x +9}>0 \ \ (<0) \Rightarrow x>0 \ \ (x<0).$$ Sin embargo, el problema es pedir que se muestre la gama: $$-\frac1{11}\le \dfrac x{x^2 - 5x +9}\le 1.$$ Puedes encontrar los valores mínimo y máximo de la función: $f(x)=\dfrac x{x^2 - 5x +9}$ utilizando la derivada: $$\begin{align}f'(x)&=\frac{x^2-5x+9-x(2x-5)}{(x^2-5x+9)^2}=\frac{9-x^2}{(x^2-5x+9)^2}=0 \Rightarrow x=\pm3;\\ f''(-3)&=\frac{2}{363}>0 \Rightarrow f(-3)=-\frac{1}{11} \ (min);\\ f''(3)&=-\frac{2}{3}<0 \Rightarrow f(3)=1 \ (max). \end{align}$$