Demostrar utilizando la definición épsilon

Question

Estoy tratando de demostrar lo siguiente utilizando el $\epsilon$ definición:

$\epsilon$ -definición: $\;\left|s_n-s\right| \lt \epsilon$

$\lim \limits_{n \to \infty}\frac{(-1)^n\cos \sqrt{n}}{\sqrt[3]{n}}=0$

Estoy teniendo problemas con conseguir la desigualdad en una forma donde puedo aislar $n$

Esto es lo mejor que se me ha ocurrido:

$1 \lt \frac{n\epsilon}{\left(\cos\sqrt{n}\right)^3}$

Answer 1

Tenga en cuenta que $$\left| \frac { (-1)^{ n }\cos \sqrt { n } }{ \sqrt [ 3 ]{ n } } \right| =\frac { \left| (-1)^{ n } \right| \left| \cos \sqrt { n } \right| }{ \left| \sqrt [ 3 ]{ n } \right| } <\frac { 1 }{ \left| \sqrt [ 3 ]{ n } \right| } <\varepsilon $$ así que $$n>\frac { 1 }{ { \varepsilon }^{ 3 } } $$ y tomar $${ n }_{ \varepsilon }=\left\lfloor \frac { 1 }{ { \varepsilon }^{ 3 } } \right\rfloor $$ significa que cuando ${ n\ge n }_{ \varepsilon }$ obtenemos $$\left| \frac { (-1)^{ n }\cos \sqrt { n } }{ \sqrt [ 3 ]{ n } } -0 \right| <\varepsilon $$