Teorema de Gauss - Green para Sobolev $H^1$ espacio

Question

Conozco el teorema de Gauss-Green:

Sea $U \subset \mathbb{R}^n$ sea un conjunto abierto y acotado con $U$ en $C^1$ . Supongamos que $u C^1(\bar U)$ entonces $$_U u_{x_i} dx = \int_{U} u \nu^i dS,$$

donde $\nu=(\nu^1,…\nu^n)$ denota el campo vectorial normal unitario que apunta hacia el exterior de la región $U$ .

Mi pregunta es: Cómo demostrar que este teorema es cierto con la hipótesis más débil de que $u \in H^1(U)$ ?

Answer 1

Sugerencia

$$\mathcal C^1(\bar U)\text{ is dense in }H^1(U).$$

Editar

$\mathcal C^1(\bar U)$ denso en $H^1(U)$ significa que si $u\in H^1(U)$ existe una secuencia $(u_n)\subset \mathcal C^1(\bar U)$ s.t. $$\|u_n-u\|_{H^1(U)}\underset{n\to \infty }{\longrightarrow } 0.$$ Por lo tanto $$\int_{U}|u_n-u|^2+\sum_{i=1}^n\int_U|\partial _i u_n-\partial _i u|^2=0.$$

En particular, desde $U$ está limitada, $$\left|\int_{U}\partial _i u_n-\int_U \partial _iu\right|^2\leq C\int _U |\partial _iu_n-\partial _iu|^2,$$ por la desigualdad de Jensen. Entonces se puede obtener un límite. Para $$\lim_{n\to \infty }\int_{\partial U}u_n\nu _i=\int_{\partial U}u\nu ^i,$$ es una consecuencia de la continuidad del operador traza.