Para un grupo abeliano $G$ , dejemos que $G[\operatorname{tors}]$ sea su subgrupo de torsión.
Considere la secuencia de torsión :
$0 \rightarrow G[\operatorname{tors}] \rightarrow G \rightarrow G/G[\operatorname{tors}] \rightarrow 0$ .
Para qué grupos abelianos de torsión $T$ ¿es cierto que para todos los grupos abelianos $G$ avec $G[\operatorname{tors}] \cong T$ ¿se divide la secuencia de torsión?
Conozco algunas condiciones suficientes:
- $T$ es divisible . De hecho, esto se cumple si $T$ es inyectiva como $\mathbb{Z}$ -si cualquier secuencia exacta corta $0 \rightarrow T \rightarrow G \rightarrow G/T \rightarrow 0$ escisiones.
Así pues, la divisibilidad es necesaria y suficiente si se consideran secuencias exactas cortas arbitrarias, pero en el caso especial $T = G[\operatorname{tors}]$ la divisibilidad no es necesaria. La secuencia de torsión también se divide si:
- $T$ tiene orden limitado : $T = T[n]$ para algunos $n \in \mathbb{Z}^+$ . (Para ello véase, por ejemplo, el Corolario 20.14 de estas notas de K. Igusa).
Lo sé. algunos ejemplos en los que la secuencia de torsión no se divide, por ejemplo, cuando $G = \prod_{n=1}^{\infty} \mathbb{Z}/p^n \mathbb{Z}$ .
Pero en realidad me interesa el caso en el que $T$ tiene "tipo cofinito", es decir, $T$ puede inyectarse en $(\mathbb{Q}/\mathbb{Z})^n$ para algunos $n \in \mathbb{Z}^+$ . (Me estoy inventando la terminología aquí; si alguna vez supe cómo llama la gente a los grupos abelianos infinitos, no me viene a la mente en este momento).
Así, por ejemplo, el caso más sencillo que desconozco en este momento sería algo así como $T = \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Q}_p/\mathbb{Z}_p$ .
No es que cambie mucho la respuesta, pero me encantaría saber que la secuencia de torsión se divide siempre que $G[\operatorname{tors}]$ tiene "tipo cofinito". Si le interesa saber por qué, vea el Teorema 5 aquí .
