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¿Por qué este determinante es positivo?

He visto que el #% de %#% dimensional volumen de un paralelepípedo en $k$, es decir, $\mathbb{R}^n$, es $P(v_1, \ldots, v_k) = \{t_1v_1 + \dotsb + t_kv_k : 0 \le t_i \le 1 \}$, donde $\sqrt{\det(T^{\top}T)}$ es la matriz de $T$ $n\times k$ de columnas.

¿Cómo sabemos que $v_1, \ldots, v_k$ es no negativo?

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SiongthyeGoh Puntos 61

$T^{\top}T$ es positivo semidefinite, así que todos los valores propios son no negativos.

El determinante de $T^{\top}T$ es el producto de los valores propios; por lo tanto, es no negativo.

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