Veamos un ejemplo sencillo $\frac{1}{x^3+2x+1}$ aquí. Sabemos que el denominador tiene una raíz real entre $0$ y $-1$ (podría acercarse más, pero no se trata de eso). Por el concepto de pendiente de una cúbica ser siempre positivo o siempre negativo, ahora tengo que convertirlo en ( $ax+b/$ cuadrático $)+(1/$ forma lineal $)$ . Para eso, voy a necesitar esa raíz. Así que, en general, como en el caso de la cúbica donde las raíces son difíciles de calcular (con las no reales en pares según la teoría), ¿hay otra manera de factorizar el denominador en lineales y cuadráticas, o tengo que encontrar sustituciones adecuadas para encontrar la raíz real de la ecuación como en la cuadrática que es casi imposible durante la época de exámenes? (Puedo ocuparme de las raíces repetidas y otras cosas fundamentales relacionadas con las fracciones parciales).
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
No es una cantidad trivial de trabajo, pero al menos esto ya es un cúbico deprimido, y se puede utilizar algo así como la sustitución de Vieta. Sea $x = w - \frac{2}{3w}$ para conseguirlo:
$$x^3 + 2x + 1 = w^3 + 1 - \frac{8}{27w^3} = 0.$$
Multiplicar por $w^3$ :
$$w^6 + w^3 - \frac{8}{27} = 0,$$
con una raíz más grande
$$w^3 = \frac{-1 + \sqrt{1 + \frac{32}{27}}}{2}\equiv C.$$
Entonces las tres raíces cúbicas de $w^3$ son $\sqrt[3]{C}, (\pm \frac{\sqrt{3}i}{2}-\frac{1}{2})\sqrt[3]{C},$ de la que puede obtener la correspondiente $x$ 's.
